§ 3 ПРИМЕНЕНИЕ ПРИНЦИПА ВИРТУАЛЬНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ К РАВНОВЕСИЮ НЕСВОБОДНОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА

239. Твердое тело, имеющее неподвижную точку.

Когда твердое тело имеет неподвижную точку, то силы связи представляют собою реакции тех внешних тел, которые обеспечивают неподвижность этой точки. Условие отсутствия трения заключается в том, что реакции эти приводятся к одной результирующей, проходящей через неподвижную точку, без пары. Влияние трения равносильно действию пары, стесняющей свободное вращение вокруг неподвижной точки. В том случае, когда пары нет, сумма виртуальных работ реакций приводится, как мы видим (п° 237), к работе их результирующей, приложенной к неподвижной точке; эта работа равна нулю, так как точка приложения силы неподвижна. Таким образом, в согласии с леммой (п° 232) работа сил связи равна нулю для всех перемещений, совместимых со связями, и потому принцип виртуальных перемещений применим к данному случаю.

Условие равновесия твердого тела выводится отсюда непосредственно. Единственное перемещение, совместимое со связями, есть произвольное вращение вокруг неподвижной точки. Условие (1) предыдущего п°, выражающее то обстоятельство, что сумма элементарных работ активных сил равна нулю, приводится к виду:

в предположении, что неподвижная точка принята за центр приведения (в этом случае ). Так как направление вектора может быть взято произвольным, то

Полученное равенство является необходимым и достаточным условием равновесия твердого тела, имеющего

неподвижную точку: результирующий момент прямо приложенных сил относительно неподвижной точки должен быть равен нулю.

Замечание. — Закрепление точки может быть осуществлено различными способами. Точка может быть закреплена непосредственно, как в случае волчка, опирающегося концом своей оси о подставку, имеющую углубление, или косвенно, например, при помощи системы осей вращения, как в часто встречающемся случае подвеса Кардана.

240. Тело, имеющее неподвижную ось.

Силами связи являются в данном случае реакции опор, которые удерживают ось неподвижной. Для отсутствия трения, очевидно, необходимо и достаточно, чтобы эти реакции могли быть приведены к силам, приложенным в точках оси. Тогда, в согласии с леммой, эти силы не будут производить работы при всяком перемещении, совместимом со связями, т. е. оставляющем неподвижными точки оси. Следовательно, принцип виртуальных перемещений применим в этом случае, и условие равновесия может быть из него выведено. Единственное виртуальное перемещение есть вращение вокруг неподвижной оси. Уравнение (1) п° 238 приводится к виду:

Для выполнения этого условия необходимо и достаточно, чтобы вектор О был равен нулю или перпендикулярен к о», т. е. перпендикулярен к неподвижной оси. Это приводит к известному условию: для равновесия твердого тела, имеющего неподвижную ось, необходимо и достаточно, чтобы результирующий момент прямо приложенных сил относительно этой оси был равен нулю.

Практически закрепление оси твердого тела достигается прямыми способами. Обычно закрепляются две точки оси, при помощи подшипников и т. п. Можно также закреплять и большее число точек, как это обычно делают для двери, вращающейся на шарнирах.

241. Скольжение, качение и верчение без трения поверхности, связанной с телом, по неподвижной поверхности.

Предположим, что поверхность S, связанная с твердым телом, вынуждена постоянно касаться неподвижной поверхности S, причем точка касания может каким-то образом перемещаться по обеим поверхностям. В этом случае говорят, что две касающиеся друг друга поверхности скользят, катятся и вертятся одна по другой (п° 75).

Силы связи представляют собою в данном случае реакции, приложенные к движущемуся телу и производимые точками неподвижной поверхности, расположенными достаточно близко от точки касания, чтобы между двумя телами могли возникнуть молекулярные взаимодействия.

Говорят, что трения нет, если эти реакции имеют равнодействующую, проходящую через точку касания и нормальную к обеим поверхностям. В этом случае основная лемма верна, так как равнодействующая реакций, приложенная в точке касания движущегося тела, нормальна ко всякому элементарному перемещению этой точки, совместимому со связями (все такие перемещения лежат в общей касательной плоскости к обеим поверхностям), и потому сумма виртуальных работ сил связи равна нулю.

Предположим теперь, что поверхность S, связанная с телом, вынужден катиться и вертеться без скольжения по неподвижной поверхности S. Силы связи в этом случае, как и в предыдущем, представляют собою реакции, производимые неподвижной поверхностью. Попрежнему говорят, что трения нет, если эти реакции имеют равнодействующую, проходящую через точку касания; при этом принимают, что равнодействующая приложена в этой точке твердого тела. Но так как скорость точки касания, по предположению, равна нулю при всяком перемещении, совместимом со связями, то работа равнодействующей, приложенной к этой точке, также равна нулю, что согласуется с основной леммой. Следовательно, в этом случае можно применить принцип виртуальных перемещений к выводу условий равновесия тела.

Предположим, наконец, что линейчатая поверхность, связанная с твердым телом, опирается на неподвижную линейчатую поверхность вдоль общей образующей и может только катиться по этой неподвижной поверхности, как это имеет место для катка, катящегося по неподвижной плоскости. Трения нет, если силы связи имеют равнодействующую, проходящую через образующую касания, причем виртуальная работа равнодействующей будет равна нулю при качении тела. Принцип виртуальных перемещений может быть применен в этом случае и даст условия равновесия.

В общем случае, предполагающем скольжение, условие равновесия заключается в том, что прямо приложенные силы имеют равнодействующую, проходящую через точку касания и нормальную к обеим поверхностям. В случае качения и верчения без скольжения необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая прямо приложенных сил походилз через точку касания, но она не обязательно должна быть нормальной к поверхностям. В случае простого качения с образующей касания условие равновесия твердого тела сосюит в том, что равнодействующая прямо приложенных сил должна проходить через эту образующую. При этих условиях виртуальная работа сил, приложенных к телу, в самом деле равна нулю, как и работа реакций, и на том же основании.

242. Простое скольжение твердого тела, положенного на неподвижную поверхность. Равновесие винта.

Предположим сначала, что плоская поверхность, связанная с твердым телом, наложена на неподвижную плоскость и может свободно скользить по этой последней, как, например, ползун в своих направляющих. В этом случае говорят, что тело скользит без трения, если реакции неподвижной плоскости на твердое тело приводятся к одной результирующей (без пары), нормальной к обеим плоскостям. Предполагают, что эта результирующая приложена в некоторой точке твердого тела; ее работа на всяком виртуальном перемещении., т. е.

перемещении, параллельном неподвижной плоскости, очевидно равна нулю. Основная лемма, следовательно, верна в этом случае, и применение принципа виртуальных перемещений возможно. Для равновесия твердого тела необходимо и достаточно, чтобы силы, прямо приложенные к телу, имели равнодействующую, нормальную к плоскости, так как в этом случае работа прямо приложенных сил равна нулю на всяком перемещении, совместимом со связями.

Предположим теперь, что некоторая кривая поверхность, связанная с твердым телом, точно накладывается на неподвижную кривую поверхность, по которой она может скользить свободно. Примеры такого рода мы имеем в случае вала, лежащего в подшипниках, или в случае поверхности нарезки винта, опирающегося на нарезку в гайке.

Для отсутствия трения необходимо, чтобы реакции, производимые на поверхность движущегося твердого тела бесконечно малым элементом неподвижной поверхности, имели равнодействующую, проходящую через этот элемент и нормальную к общей касательной плоскости. Эта равнодействующая, будучи приложена в точке твердого тела, которая может скользить по элементу неподвижной поверхности, нормальна к перемещению точки приложения и не производит работы. Таким образом, основная лемма верна, и принцип виртуальных перемещений применим.

Найдем, в качестве приложения, условия равновесия винта, который может двигаться в неподвижной гайке.

Винт в гайке может иметь только винтовое движение, при котором он вращается вокруг своей оси и в то же время дьигается поступательно и равномерно вдоль этой оси. Длина р, на которую он перемещается вдоль оси за время одного полного оборота, называется шагом винта.

Приведем силы, прямо приложенные к винту, к силе R, приложенной в какой-либо точке оси, и к паре с моментом О. Пусть — скорость 1 иртуального поступательного перемещения и w — угловая скорость виртуального вращения, сообщенных винту при винтовом движении; оба

вектора направлены по оси винта. Условие равновесия будет иметь вид:

Пусть R есть проекция силы R на ось винта и М — результирующий момент пары относительно этой оси, на которой выбрана положительная ориентация. Предыдущее векторное уравнение может быть написано в алгебраической форме:

откуда

Таким образом, для равновесия винта необходимо и достаточно, чтобы результирующий момент активных сил относительно оси винта, с одной стороны, и сумма проекций сил на эту ось, с другой стороны, находились между собой в отношении шага винта к и имели, кроме того, противоположные знаки.