§ 3. ДВИЖЕНИЕ ТЯЖЕЛОЙ ТОЧКИ В ПУСТОТЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ

173. Уравнения движения.

Составим уравнения относительного движения тяжелой точки М, учитывая сложную центробежную силу. Пусть О (фиг. 31) есть начало системы осей, неподвижных относительно земного

шара, и SN — ось вращения Земли. Проведем ось вниз по направлению веса, ось Ох к югу и ось Оу к западу. Пусть к есть широта места (угол между вертикалью и плоскостью экватора), считаем ее положительной к северу (северное полушарие) и отрицательной к югу (южное полушарие).

Проекции угловой скорости на оси будут

Фиг. 31.

Движущаяся точка, по предположению, мало удаляется от точки О; в этом случае силу веса можно рассматривать как величину постоянную. Ее проекции будут (в обозначениях п° 168)

Проекции сложной центробежной силы, в свою очередь, равны:

Уравнения (1) относительного движения (п° 168), после сокращения на общий множитель , получат вид:

Предположим, что движущаяся точка в момент выходит из точки О, так что начальные значения координат х, у, z равны нулю. Обозначим через а, b, с проекции начальной скорости на оси. Если пренебречь членами с множителем в формулах (1), уравнения приведутся к тем, которые были проинтегрированы выше (п°117), и мы получим:

Нетрудно проинтегрировать и самые уравнения (1), но точное интегрирование их не представляет интереса. Мы получим достаточное приближение, пренебрегая при интегрировании степенями выше первой. Учитывать члены с не имеет смысла, так как изменения веса и действие Луны, которыми мы пренебрегаем, уже имеют порядок величины

Мы можем поэтому написать интегралы уравнений (1) в следующем виде:

где величины которые прибавляются к значениям , вычисленным ранее, представляют собой проекции отклонения, вызванного вращением Земли (точнее, сложной центробежной силой).

Чтобы определить это отклонение, поставим предыдущие значения в уравнения (1), отбросим члены с и потребуем, чтобы уравнения удовлетворялись. Для этого следует только приравнять члены с первыми степенями , что дает:

Проинтегрируем теперь эти уравнения, принимая во внимание, что начальные значения и их первых производных равны нулю; получим:

Умножая эти значения на со, получим проекции на оси отклонения точки.

174. Случай, когда начальная скорость равна нулю.

В качестве первого частного случая рассмотрим тот, когда начальная скорость равна нулю. Тогда а, b, с равны нулю. Проекции отклонения будут:

Таким образом, если точку без начальной скорости предоставить действию силы тяжести, то отклонение будет горизонтально и направлено к востоку. Движение проекции точки на вертикаль не изменяется, но сама точка отклоняется от вертикали в плоскости, нормальной к меридиану, к востоку на весьма малую величину

Если h есть высота падения, то уравнение позволяет определить продолжительность t падения:

отсюда значение отклонения получается равным

Эти результаты вычисления подтверждаются многочисленными опытами. Укажем на самые первые из них, опыты Рейха (Reich), и на последние, опыты Холла (Hall),

Рейх проделал свои опыты в 1831 г. в шахте Фрейберга, на широте Высота падения была вычисленное отклонение 27,5 см. Результаты 106 опытов дали отклонения, заключенные между пределами (28,3 ±4) см. Опыты Холла были выполнены в 1902 году в лаборатории Гарвардского университета в Кембридже (США). Высота падения была 23 м, широта вычисленное отклонение 1,8 см. Холл проделал 948 опытов, и наблюдения дали в качестве пределов отклонения значения

175. Отклонение снарядов.

Эффект сложной центробежной силы оказывается заметным при движении артиллерийских снарядов. Чтобы получить представление о важности этого эффекта, мы рассмотрим движение снаряда в пустоте, что, очевидно, значительно удалит нас от практических условий задачи. Предположим, что снаряд движется по настильной траектории (т. е. траектории, весьма близкой к горизонтальной прямой) и начальная скорость очень велика, так что в формулах (3) можно пренебречь членами, содержащими с, и сохранить члены, содержащие а и b (горизонтальные проекции скорости ). Тогда формулы (3) приведутся к виду:

Эти формулы показывают, что отклонение перпендикулярно к траектории (точнее, к ); в северном полушарии (где А положительно) оно происходит в правую сторону, в южном полушарии — в левую сторону его величина равна

Таким образом, поскольку оказываются законными наши допущения, величина отклонения в одном и том же месте не зависит от направления стрельбы.

Например, если стрельба происходит в горизонтальном направлении по цели, отстоящей на 8 км, со скоростью 800 м/сек, то отклонение будет равно

что составляет около 4 м на широте 50°.