ГЛАВА III. ДОПОЛНИТЕЛЬНОЕ ИЗУЧЕНИЕ УСКОРЕНИЯ ПРИ ДВИЖЕНИИ ТОЧКИ И ТВЕРДОГО ТЕЛА

§ 1. ОБ УСКОРЕНИИ В ОТНОСИТЕЛЬНОМ ДВИЖЕНИИ ТОЧКИ

80. Теорема Кориолиса.

Если движение точки М одновременно отнесено к неподвижной и к подвижной системам осей, то между ускорениями в абсолютном и относительном движениях имеет место соотношение, аналогичное тому, которое связывает абсолютную и относительную скорости движущейся точки, но менее простое. Это соотношение выражается основной теоремой, которую мы сейчас установим и которая известна под названием теоремы Кориолиса.

Пусть — координаты точки М относительно трех прямоугольных неподвижных осей той же точки относительно подвижных осей . Положение подвижной системы определяется координатами ее начала О и направляющими косинусами а, b, ее осей относительно неподвижных осей. Абсолютные и относительные координаты точки связаны между собой формулами преобразования координат, из которых достаточно написать первую:

Дифференцируя это равенство два раза по времени, получим

Левая часть написанного уравнения есть проекция абсолютного ускорения j точки М на неподвижную ось О

В правой части слагаемые написаны в трех строках.

Если , с постоянны, т. е. если подвижные оси остановлены в занимаемом ими положении, то приведется к членам первой строки. Следовательно, эти члены представляют собой проекцию j относительного ускорения j на ось

Если постоянны, т. е. если точка М неподвижна в подвижной системе координат, то приведется к членам второй строки. Эти члены дают, таким образом, проекцию переносного ускорения

Наконец, члены третьей строки можно рассматривать как проекцию на ось вектора приложенного в точке М и называемого добавочным ускорением, или ускорением Кориолиса.

Мы получаем, таким образом, соотношение

Очевидно, имеют место два аналогичных соотношения между проекциями векторов на две другие неподвижные оси . Аналитические выражения этих проекций получаются из уже написанного круговой перестановкой букв и введением соответствующих направляющих косинусов. В результате получаем геометрическое равенство

Отсюда следует теорема Кориолиса:

Абсолютное ускорение точки, отнесенной к подвижной системе осей, равно геометрической сумме ускорений: относительного, переносного и добавочного.

81. Определение добавочного ускорения.

Чтобы получить проекцию v скорости переносного движения точки М на неподвижную ось нужно продифференцировать, считая постоянными, равенство

что дает

На основании результатов, полученных в кинематике твердого тела, мгновенное движение системы отсчета Охуz разлагается на поступательное движение со скоростью и точки О и на вращение вокруг оси, проходящей через О. Проекция вектора а на ось есть

т. е. равна первому члену в выражении для поэтому следующие члены

представляют собой проекцию на ту же ось скорости точки , вызванной только переносным вращением о» подвижной системы координат. Эта скорость равна векторному произведению

Возвратимся теперь к проекции на ось добавочного ускорения

Сумма в скобках представляет собой выражение, в которое обращается проекция скорости точки при переносном вращении , если относительные координаты точки заменить на координаты — индекса ее относительной скорости для того же начала О, или, что то же самое, если заменить вектор ОМ вектором То же заключение относится и к проекциям вектора на две другие неподвижные оси, и, следовательно,

Мы имеем поэтому следующую теорему: Добавочное ускорение равно удвоенному векторному произведению угловой скорости переносного вращения на относительную скорость движущейся точки. Оно, следовательно, перпендикулярно к относительной скорости.

Проекции добавочного ускорения на подвижные оси Охуz получим, проектируя на них произведение . Пусть — проекции угловой скорости переносного вращения на подвижные оси; тогда

Из предыдущей теоремы ясно видно, что если движение подвижной системы отсчета задано, то добавочное ускорение движущейся точки зависит лишь от ее относительной скорости.

Добавочное ускорение обращается в нуль вместе с каждым из множителей произведения т. е. в двух очень важных случаях: 1°. Если относительная скорость равна нулю; 2°. Если подвижная система отсчета движется поступательно

82. Сложное центробежное ускорение.

Геометрическое равенство, связывающее ускорения, может быть написано в виде

Таким образом, относительное ускорение равно геометрической сумме абсолютного ускорения и ускорений, равных по величине, но противоположных ускорениям, переносному и добавочному. Ускорение — равное по величине, но противоположное добавочному ускорению, называется также сложным центробежным ускорением.