§ 5. ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ СТАТИКИ

246. Общее уравнение статики.

Рассмотрим систему из материальных точек

подчиненных связям, которые выражаются уравнениями, не содержащими времени. Связи предполагаются свободными от трения, так что принцип виртуальных перемещений оказывается применимым.

Пусть есть равнодействующая сил, прямо приложенных к точке — ее проекции на оси координат. Пусть далее есть виртуальное перемещение точки — его проекции на те же оси. На основании принципа виртуальных перемещений необходимые и достаточные условия равновесия выражаются уравнением

которое обычно пишется в виде:

Это уравнение должно иметь место для всех виртуальных перемещений

Уравнение (1) носит название общего уравнения статики. Но оно может применяться лишь к системам с обратимыми движениями и со связями без трения. Мы рассмотрим далее различные методы исключения вариаций и определения положений равновесия в случаях, когда силы известны и зависят только от положения точек системы.

247. Голономные системы.

Связь называется голономной, если она выражается уравнением в конечной форме между координатами точек системы. Система, все связи которой голономны, называется голономной системой.

Каждая голономная связь отнимает у системы одну из её степеней свободы и уменьшает, следовательно, число возможных положений. Однако существуют связи, не входящие эту категорию. Они уменьшают не число возможных положений системы, а лишь число движений, которые переводят систему из одного данного положения в другое.

Так, можно связать две точки, движущиеся в плоскости, условием, чтобы их скорости имели одинаковую величину в каждый момент. Эта связь не является голономной, ибо она не ограничивает совокупности возможных положений: два положения первой точки и два положения второй всегда должны быть соединены путями одинаковой длины, пробегаемыми за одинаковое время двумя точками, имеющими равные скорости.

Мы уже встречались со связями, наложенными на твердое тело и не являющимися голономными. Эго — классический случая качения и верчения без скольжения поверхности тела по неподвижной поверхности. Эта связь разлагается на две, одна из которых голономна, другая нет. Условие касания двух поверхностей ограничивает число возможных положений тела и голономно; условие того, что скорость точки касания тела с неподвижной поверхностью равна нулю, ограничивает только совокупность движений, которые переводят тело из одного положения в другое, и это условие не является голономным.

Неголономные связи необходимо выражаются дифференциальными неинтегрируемыми соотношениями между координатами точек системы.

Первый обратил внимание на различие между этими двумя видами связи физик Г. Герц; он назвал связи первой категории голономными, системы же, связи которых не входят в эту категорию, носят с тех пор название неголономных. Так как значение их для статики невелико, мы не будем здесь ими заниматься.

Рассмотрим голономную систему точек. Предположим, что связи выражаются h уравнениями между координатами этих точек:

число h уравнений должно быгь менее числа координат, так как иначе координат, а следовательно, и положение системы могли бы быть определены из этих уравнений, и движение было бы невозможно. Положим поэтому

Если то говорят, что система с полными связями, так как остается лишь одна независимая координата. О такой системе говорят также, что она имеет одну степень свободы. В общем случае имеется k координат, значения которых остаются произвольными; их можно сматривать как независимые параметры, при помощи которых определяется положение системы. В этом случае говорят, что система имеет k степеней свободы.

Вариации координат, совместимые со связями, должны удовлетворять следующим уравнениям, которые получаются полным дифференцированием уравнений (2) в :

Эти h (или ) уравнений между вариациями координат показывают, что k из этих вариаций остаются произвольными: мы будем называть их независимыми вариациями-, тогда остальные, которые выражаются через них из предыдущих уравнений, будут зависимыми.

Зависимые вариации выражаются линейными функциями от k независимых вариаций в результате решения системы (3). Подставим их значения в уравнение (1), представляющее собой общее уравнение статики. Так как это уравнение после указанной подстановки будет содержать лишь k независимых вариаций, то оно должно удовлетворяться при произвольных значениях последних; каждый из k коэффициентов при этих вариациях должен поэтому в отдельности обращаться в нуль. Таким способом мы получаем k уравнений равновесия между координатами точек системы и проекциями прямо приложенных сил. Эти k новых уравнений в соединении с уравнениями связей (2) определяют значения координат для положений равновесия, если известны прямо приложенные силы; в случае же неизвестных сил, эти силы могут быть определены из тех же уравнений и выразятся, следовательно, как функции от координат точек системы. Тогда говорят, что силы позиционны.

248. Метод множителей Лагранжа. Определение реакций.

Исключение вариаций из общего уравнения статики может быть выполнено более изящно применением метода множителей Лагранжа. Он заключается в следующем.

Умножим h (или ) уравнений (3) соответственно на коэффициенты и сложим с уравнением (1). Определим затем неопределенные множители к, приравнивая нулю коэффициенты при h зависимых, вариациях. Тогда коэффициенты при k независимых вариациях также должны обратиться в нуль. Мы получаем, таким образом, совместных уравнений

Предположим теперь, что силы или известны, или являются чисто позиционными, т. е. даны как функции координат точек системы. Уравнения (2) и (4) представляют собой систему совместных уравнений, позволяющих определить неизвестных координат и h множителей к для положения равновесия.

При помощи коэффициентов к можно определить силы связи, т. е. реакции, которые нужно ввести, чюбы заменить то или другое из уравнений (2).

Если отбросить связь , то для того, чтобы уравнения равновесия (4) остались без изменения, к силе действующей на точку необходимо присоединить силу, имеющую проекции

Таким образом, эффект связи по отношению к точке в точности сводится к действию этой силы. По этой причине указанную силу и называют реакцией, происходящей от связи . Направляющие коэффициепты этой реакции равны следовательно, она нормальна к поверхности, выражающейся уравнением

если рассматривать в нем координаты точки как текущие, а координаты остальных точек как параметры, имеющие данные значения.

Приложение. — Применим этот способ к случаю точки , движущейся без трения по поверхности, определяемой уравнением

предполагая, что проекции X, Y, Z движущей силы выражаются данными функциями от координат . Условие равновесия в форме общего уравнения статики имеет

Оно должно иметь место для всякого перемещения по поверхности, т. е. для перемещения, удовлетворяющего уравнению

Умножим это уравнение на А. и сложим его с предыдущим; по методу неопределенных множителей получим, приравнивая нулю коэффициенты при каждой вариации,

Эти три уравнения в соединении с уравнением поверхности определяют четыре неизвестные и А. для положения равновесия. Зная А, находим проекции реакции поверхности в виде

Эта реакция нормальна к поверхности, в согласии с общей теорией.

249. Голономные системы в лагранжевых координатах.

Если голономная система точек имеет k степеней свободы, ее положение определяется k независимыми параметрами. В этом случае можно предположить, что координаты точек системы выражены в виде явных функций от k параметров между которыми не существует никакой зависимости, посредством формул:

Параметры q называются лагранжевыми координатами системы.

Виртуальное перемещение системы выражается через k произвольных вариаций этих координат формулами:

Если подстави эти значения в общее уравнение статики

то последнее примет вид:

где положено

Так как вариации произвольны, то это уравнение распадается на систему следующих k уравнений, которые и являются уравнениями равновесия:

Если силы даны или зависят только от Положения или конфигурации системы, т. е. от параметров q, то эти k уравнений определят значения k лагранжевых координат, которым соответствует положение равновесия системы.

Замечание. — Большое преимущество лагранжевых координат заключается в удобстве их применения к системам с конечным числом степеней свободы, каково бы ни было

число точек системы. Так, в случае твердого тела мы имеем дело с бесконечным множеством точек, и практически невозможно написать все уравнения связей. Наоборот, положение тела зависит лишь от шести лагранжевых координат. Ничто не мешает также применить этот способ к непрерывным средам, так как декартовы координаты точек системы могут быть связаны с лагранжевыми координатами общими формулами. В этом случае число уравнений связей в декартовых координатах также было бы бесконечно.

250. Системы, находящиеся под действием консервативных сил. Силовая функция.

Силы, прямо приложенные к системе материальных точек, называются консервативными (в их совокупности), если они позиционные и если сумма их элементарных работ на всяком перемещении системы есть полный дифференциал функции U от координат точек системы, т. е. если тождественно выполнено равенство

Это тождество распадается на условий

Функция U координат точек системы есть силовая функция.

Может также быть, что сумма элементарных работ прямо приложенных сил есть полный дифференциал функции U от лагранжевых координат, но это может иметь место лишь для перемещений, совместимых со связями. В этом случае имеем:

Написанное тождество распадается на k следующих

Этот случай может иметь место и без того, чтобы существовала силовая функция в собственном смысле (как она введена для декартовых координат), но когда он встречается, можно сказать, в обобщенном смысле, что существует силовая функция в лагранжевых координатах.

Если существует силовая функция в координатах т. е. без учета связей, то существует, очевидно, и силовая функция в лагранжевых координатах, которая выводится из первой, если выразить х, у, z в координатах

Если существует силовая функция в том или другом смысле, то для положений равновесия имеем . В этом заключается, как известно, необходимое условие максимума или минимума функции U. Таким образом, положения системы, для которых силовая функция имеет максимум или минимум, представляют собой, вообще говоря, положения равновесия системы.

Можно показать, что положения системы, для которых силовая функция принимает наибольшее значение, представляют собой положения устойчивого равновесия. Но вопрос об устойчивости равновесия консервативной системы относится скорее к динамике, чем к статике. Мы встретимся с ним в динамике системы при обобщении теоремы Лежен-Дирихле, уже доказанной для точки (п° 147).

251. Равновесие весомой системы.

Одним из наиболее важных случаев консервативных сил является тот, когда единственная прямо приложенная сила есть сила тяжести. Докажем, что в этом случае существует силовая функция. Предположим, что ось z вертикальна и ориентирована в сторону действия силы тяжести. Элементарная рябо силы тяжести для точки массы и веса есть следовательно, сумма элементарных работ для всей системы равна

где М есть общая масса, - вес системы и ордината ее центра тяжести. Силовая функция равна поэтому Положениями равновесия весомой системы (с обратимыми перемещениями) будут, следовательно, такие положения, для которых изменение уровня центра тяжести равно нулю при элементарном перемещении системы, т. е., вообще говоря, такие положения, для которых центр тяжести занимает самое высокое или самое низкое из возможных положений. В последнем случае, на основании только что упомянутой обобщенной теоремы Лежен-Дирихле, мы будем иметь положение устойчивого равновесия.

При применении этой теоремы к весомой системе предполагается, что центр тяжести системы может подниматься или опускаться. Может, в частности, случиться, что центр тяжести системы остается на одном и том же уровне для различных возможных положений системы, так что последняя будет в равновесии во всех этих положениях. В этом случае говорят, что равновесие безразличное, или астатическое. С таким равновесием мы встречаемся в случае тяжелого твердого тела, вынужденного скользить по горизонтальной плоскости, или опертого на неподвижную опору в своем центре тяжести, или также в случае весов с двумя чашками, центр тяжести которых совпадает с точкой подвеса коромысла.

Мы возвратимся к этой теореме в динамике системы.