§ 3. ЦИКЛОИДАЛЬНЫЙ МАЯТНИК

154. Движение тяжелой точки по циклоиде.

Циклоидальный маятник представляет собой тяжелую точку, вынужденную двигаться (без трения) по циклоиде. Эта циклоида имеет горизонтальное основание, расположена в вертикальной плоскости и обращена своей вогнутостью кверху; она может быть образована движением точки окружности вертикального круга радиуса а, который катится снизу по неподвижной горизонтальной прямой.

Фиг. 29.

Примем эту неподвижную прямую за ось х (фиг. 29), поместим начало О в точке возврата циклоиды (в которой описывающая циклоиду точка достигает прямой Ох) и

проведем ось вертикально вниз. Тогда мы будем иметь параметрические уравнения циклоиды в их классической форме

где и есть угол между подвижным радиусом, идущим из центра катящейся окружности к движущейся точке, и вертикальным диаметром этой окружности.

Из этих уравнений получим:

откуда, отсчитывая в одну и ту же сторону, будем иметь:

Будем отсчитывать дугу s от нижней точки циклоиды (где ), тогда получим:

Движение точки М (с массой ) по циклоиде определяется ее внутренним уравнением (в проекциях на касательную), имеющим в общем случае вид:

В данном случае есть проекция на касательную веса F - mg, следовательно (так как направление и ориентация веса F и оси совпадают)

поэтому внутреннее уравнение движения будет в данном случае

Принимая во внимание значения вычисленные выше, будем иметь:

Дифференциальное уравнение движения получает, таким образом, следующий окончательный вид:

Это линейное уравнение такого же вида, как уравнение, которое определяет движение точки, притягиваемой к неподвижному центру силой, пропорциональной расстоянию (п° 136).

Общий интеграл его будет

Это равенство и дает уравнение движения в конечной форме.

Предположим, что точка предоставлена действию своего веса в начальном положении без начальной скорости. Для будем иметь:

Следовательно, и уравнение движения приводится к виду

Эта формула показывает, что точка М совершает периодические колебания в ту и другую стороны от нижней

точки циклоиды. Продолжительность Т половины полного колебания будет:

Она совершенно не зависит от амплитуды Колебания циклоидального маятника оказываются, таким образом, вполне изохронными. Движение, обладающее таким свойством, называют таутохронным.

Следует заметить, что есть радиус кривизны циклоиды в ее нижней точке, что позволяет приравнять Т полупериоду бесконечно малых колебаний простого маятника.

155. Осуществление циклоидального маятника.

Гюйгенс, которому мы обязаны предшествующими результатами, осуществил на практике циклоидальный маятник. Известно, что эволюта циклоиды есть циклоида, равная первоначальной и смещенная на длину в горизонтальном направлении и на высоту 2а вверх. Центр кривизны циклоиды, представляющей собой эвольвенту, в нижней ее точке находится в точке возврата эволюты, и соответствующий радиус кривизны равен . Поэтому если подвесить тяжелую точку М на нити длиной к точке возврата О эволюты (фиг. 32) и заставить ее колебаться так, чтобы нить попеременно навертывалась на обе дуги эволюты, оканчивающиеся в точках возврата эвольвенты, то тяжелая точка будет двигаться точно по эвольвенте. Однако конструкция циклоидального маятника оказывается слишком сложной, чтобы представляемые им теоретические преимущества заставили предпочесть его в практических применениях простому маятнику.