§ 4. ОТКЛОНЕНИЕ СВОБОДНОГО МАЯТНИКА. МАЯТНИК ФУКО

176. Уравнения движения маятника относительно поверхности Земли.

Мы будем рассматривать здесь кажущееся движение сферического маятника (или маятника на одной нити) относительно поверхности Земли, или, что сводится к тому же, движение тяжелой точки М по сферической поверхности радиуса l, неизменно связанной с Землей.

Сохраним те же оси, как в предшествующем параграфе. Пусть точка О будет центром сферической поверхности или точкой подвеса нити, удерживающей движущуюся точку на этой поверхности. Уравнения относительного движения маятника получаются из уравнений движения (1), написанных в предшествующей глапе (п° 159), прибавлением к правым частям центробежной силы, отнесенной к единице массы, так как множитель в этих уравнениях опущен. Мы получаем, таким образом, систему уравнений:

В этих уравнениях N есть реакция нити, отнесенная к единице массы. К ним нужно присоединить еще уравнение сферы радиуса

Четыре уравнения (1) и (2) определяют и N в зависимости от времени, но полное интегрирование их представляет собой трудную задачу.

Рассмотрим сначала частный случай. Предположим, что мы находимся на северном полюсе, где Уравнения (1) принимают вид:

Возьмем в плоскости подвижную систему двух прямоугольных осей вращающуюся относительно Оху с постоянной угловой скоростью в направлении от (положительное направление). В момент t, после поворота осей на угол будем иметь:

Дифференцируя эти равенства два раза по i и отбрасывая члены с получим:

и аналогичное уравнение для у. Уравнения в переменных получат поэтому вид:

Это уравнения движения относительно подвижных осей Oxyz. Они тождественны с уравнениями движения сферического маятника в неподвижных осях. Отсюда получаем следующее заключение:

На полюсе движение сферического маятника будет таким же, как если бы оно было отнесено к неподвижным осям, при условии, что в качестве системы осей взята система, обладающая относительно Земли равномерным вращением вокруг вертикали с угловой скоростью , равной и прямо противоположной угловой скорости Земли.

Этот результат очевиден a priori и, кроме того, совершенно точен, так как вращение Земли в данном случае не оказывает никакого влияния ни на самый маятник, ни на силы, действующие на него. Результат оказывается даже более точным, чем вычисления, которые к нему привели, так как мы пренебрегли членами с но ошибка компенсировалась изменением веса, которым мы также пренебрегли.

Таким образом, если заставить маятник колебаться на полюсе в вертикальной плоскости, то мы увидим, что плоскость колебаний будет вращаться с постоянной угловой скоростью — в сторону, обратную вращению Земли. Возвратимся теперь к уравнениям (1). Заменим во втором из них производную ее значением:

полученным дифференцированием уравнения (2). Положим далее

уравнения (1) могут быть тогда написаны в виде:

Рассмотрим ещё один частный случай. Предположим, что мы находимся на экваторе, где к . Предыдущие уравнения приводятся к виду:

Первому уравнению можно удовлетворить, полагая тогда движение в плоскости определяется двумя другими уравнениями, содержащими только

Эти уравнения представляют собой уравнения движения простого маятника в плоскости Таким образом, мы приходим к следующему заключению:

На экваторе можно заставить свободный маятник колебаться в экваториальной плоскости, так что его движение будет совпадать с движением простого маятника. Но реакция N в этом случае будет отлична от реакции, соответствующей колебаниям простого мантника.

В самом деле, реакция была бы равна N, если бы не было сложной центробежной силы. Благодаря наличию этой силы реакция становится равной

Она оказывается увеличенной или уменьшенной в зависимости от направления движения: увеличенной в случае, когда у возрастает, и уменьшенной, когда у убывает (в предположении, что z > 0).

Возвратимся опять к уравнениям (5). Они могут быть проинтегрированы в том случае, когда отношение — очень

мало, так что можно пренебречь величиной по сравнению с Этот прием был бы вполне законен, если бы отношение было порядка Благодаря такому упрощению, уравнения (5) принимают вид:

Эти уравнения совпадут с уравнениями (3) движения маятника на полюсе, если заменить в последних на . Это сводится к замене угловой скорости вращения Земли ее составляющей по направлению вертикали в данном месте. Отсюда приходим к следующему заключению:

Бесконечно малые колебания свободного маятника в точке Земли на широте X сотадают с колебаниями относительно неподвижных осей при условии, что движение отнесено к подвижным осям, вращающимся вокруг вертикали данного места, в сторону, противоположную вращению Земли, с угловой скоростью .

Таким образом, если начальные колебания маятника в каком-либо месте на земной поверхности происходят в вертикальной плоскости, то наблюдатель, находящийся в этом месте, увидит, что плоскость колебаний вращается с угловой скоростью в сторону кажущегося движения небесного свода.

Это явление вращения плоскости колебаний свободного маятника обнаружил в 1851 году Леон Фуко в своих знаменитых опытах в Пантеоне, в Париже. Длина нити была 67 м, длина описываемой дуги 6 м, наибольшие значения отношений около , продолжительность простого колебания 16 сек; широта

Парижа . Продолжительность полного оборота плоскости колебаний должна была получиться на основании вычислений равной

что и было подтверждено опытами.

В опыте Фуко амплитуда колебаний не была достаточно мала, чтобы можно было с полной уверенностью применять изложенную теорию. Однако результаты этих опытов могут быть обоснованы более глубоким анализом