§ 4. ТЕОРЕМА ПЛОЩАДЕЙ

120. Интеграл и теорема площадей.

Предположим, что сила F, действующая на точку М, постоянно пересекает неподвижную ось или ей параллельна. Примем эту неподвижную прямую за ось и проведем прямоугольную систему осей координат Oxyz (фиг. 27). Плоскость будет при этом перпендикулярна к неподвижной прямой. Момент движущей силы относительно оси постоянно равен нулю, поэтому будем иметь . Так как X и Y пропорциональны , то будем иметь также:

Фиг. 27.

Левая часть этого равенства есть производная по от выражения

Следовательно, само это выражение равно постоянной С; умножая ею на мы получаем равенство

Пусть s — дуга траектории точки М, отсчитываемая от начального положения точки — соответствующая дуга, описываемая проекцией точки М на плоскости начиная от начального положения проекции (фиг. 27). Выражение

представляет собой момент относительно оси z вектора приложенного в точке и имеющего проекциями dx, dy и dz или, что то же самое, момент относительно точки О проекции этого вектора на плоскость Этот момент с точностью до знака равен удвоенной площади треугольника, имеющего вершиной точку О и основанием Но вектор можно считать совпадающим с бесконечно малой дугой описываемой проекцией за промежуток времени а площадь указанного выше треугольника можно считать совпадающей с площадью описываемой радиусом-вектором за этот же промежуток времени . Эта элементарная площадь представляет собой дифференциал площади S, описываемой радиусом (проекцией радиуса-вектора ОМ), начиная от его начального положения Эта площадь считается положительной или отрицательной, смотря по тому, описывается ли она в прямом направлении или в обратном. Последнее уравнение может быть поэтому написано в виде:

Этот первый интеграл уравнений движения носит название интеграла площадей. Интегрируя снова и замечая, что 5 обращается в нуль вместе с t, получим:

Отсюда имеем следующую теорему:

Теорема площадей. — Если направление движущей силы постоянно пересекает неподвижную ось или ей параллельно, то проекция на плоскость, перпендикулярную к оси, радиуса-вектора, проведенного из какой-нибудь точки оси к движущейся течке, описывает в этой плоскости площади (положительные или отрицательные), пропорциональные времени.

121. Теорема площадей в случае центральной силы.

Предположим теперь, что точка М приводится в движение центральной силой, т. е. силой, проходящей постоянно через неподвижную точку О, и возьмем О за начало координат. Предшествующая теорема применима по отношению к каждой из трех осей . Имеем, следовательно, три уравнения:

где А, В и С — постоянные. Умножим эти три уравнения соответственно на х, у, z и сложим. Получим

Это уравнение есть уравнение неподвижной плоскости, проходящей через начало координат. Движущаяся точка время остается в этой плоскости, ее траектория представляет собой поэтому плоскую кривую.

Возьмем плоскость траектории за плоскость ху. Точка М совпадает тогда со своей проекцией на эту плоскость, а радиус-вектор ОМ совпадает со своей проекцией поэтому можно применить к самому радиусу-вектору теорему площадей, установленную в предшествующем n°. Отсюда имеем следующую теорему, которая и есть собственно теогема площадей:

Теорема. — Если материальная точка движется под действием центральной силы, т. е. силы, линия действия которой проходит через неподвижный центр, то траектория точки есть плоская кривая, и центр силы лежит в ее плоскости; радиус-вектор, проведенный из центра к движущейся точке, описывает в этой плоскости площади, пропорциональные времени.

Обратно, если радиус-вектор, проведенный из точки О к движущейся точке М, описывает в неподвижной плоскости, проходящей через точки О и М, площадь, изменяющуюся пропорционально времени, то точка находится под действием центральной силы. В самом деле, тем же свойством обладают и площади, описываемые проекциями радиуса-вектора ОМ на три взаимно перпендикулярные плоскости, проходящие через точку О. Если эти плоскости принять за плоскости координат, то можно написать уравнения (2), выражающие тот факт, что производные указанных площадей постоянны. Дифференцируя уравнения (2), получаем уравнение (1) и два другие аналогичные, которые можно написать также в виде:

отсюда

Эти равенства показывают, что направление силы совпадает с направлением радиуса-вектора.