§ 2. СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ

11. Результирующая системы векторов, приложенных в одной точке.

Результирующей системы векторов приложенных в одной точке А, называют вектор равный их геометрической сумме и приложенный в той же точке. — Обратно, векторы V называются составляющими вектора

Отнесем систему векторов к трем осям, прямоугольным или косоугольным. Обозначим через алгебраические значения проекций вектора V на Проекции X, Y, Z вектора R на оси будут (п° 4):

Очень часто встречаются следующие частные случаи:

1°. Если имеются только две составляющие, то результирующая есть диагональ параллелограма, построенного на двух составляющих как на сторонах.

2°. Если имеются три составляющие, не лежащие в одной плоскости, то результирующая есть диагональ параллелепипеда, построенного на этих трех составляющих как на ребрах.

12. Разложение вектора на его составляющие.

Можно также разложить вектор V, приложенный в точке О, на его составляющие по заданным направлениям: При этом следует различать несколько случаев.

1°. Если даны только два направления , то разложение возможно лишь в том случае, и вектор V лежит в плоскости . В этом случае обе составляющие получаются проектированием вектора V на каждое из двух направлений параллельно другому направлению.

2°. Если даны три направления, не лежащие в одной плоскости, то разложение возможно и выполняется единственным способом. Каждая составляющая получается прозктированием вектора V на соответствующее направление при помощи проектирующей плоскости, параллельной двум другим направлениям.

3°. Наконец, если даны. более чем три направления, разложение всегда возможно, и притом бесконечный множеством способов.

Замечание. — Проекции вектора V на оси координат определяют на этих осях векторы, геометрически равные составляющим данного вектора по направлениям, параллельным указанным осям. Мы будем обозначать эти векторы через

Мы имеем, таким образом, разложение:

13. Моменты результирующей системы векторов, приложенных в одной точке. Результирующие моменты.

Рассмотрим систему векторов приложенных

в точке А; пусть результирующая. Она приложена в той же точке. Мы имеем следующую теорему.

Момент результирующей R системы векторов, приложенных в одной точке, относительно некоторой точки О равен сумме моментов составляющих относительно той же точки.

Эта теорема есгь следствие распределительного свойства векторного произведения. Пусть G есгь момент вектора R, и — момент вектора относительно точки 0. Имеем:

Отсюда получаем:

что и доказывает теорему.

Спроектируем крайние члены этой цепи равенств на неподвижную ось, проходящую через точку О (центр моментов); так как проекция суммы векторов равна сумме их проекций, то мы получаем следующую теорему:

Момент результирующей R системы векторов, приложенных в одной точке, относительно некоторой оси равен сумме моментов составляющих относительно той же оси.

Эти теоремы можно сформулировать короче, если воспользоваться следующими определениями:

Определение. — Для системы векторов, расположенных произвольно, результирующим, или главным моментом относительно некоторой точки называется геометрическая сумма моментов составляющих лекторов относительно той же точки.

Результирующим, или главным моментом системы относительно оси называется алгебраическая сумма моментов составляющих относительно той же оси.

Высказанные теоремы формулир уется теперь следующим образом:

Теорема. - Результирующий момент системы векторов, приложенных в одной точке, равен моменту их

результирующей как относительно оси, так и относительно точки.

Замечание. — Векторы называют сходящимися, если их линии действия проходят через одну точку. Векторы можно перемещать вдоль их линий действия, не изменяя их моментов. Можно поэтому применить предыдущую теорему к системе сходящихся векторов, перенося их в общую точку пересечения линий действия.

14. Геометрическая сумма и результирующие моменты системы векторов, расположенных произвольно.

Пусть — векторы, приложенные в произвольных точках и пусть О — данная точка.

Результирующая векторов V, перенесенных параллельно самим себе в точку О, называется их геометрической суммой в этой точке (п°4), или главным вектором.

Результирующий, или главный момент Q системы относительно точки О есть (п°13) сумма моментов составляющих относительно той же точки:

Если мы спроектируем обе части этого равенства на одну и ту же неподвижную ось, проходящую через точку О, и заметим, что проекция суммы равна сумме проекций векторов , т. е. результирующему моменту системы относительно оси, то можем высказать следующую теорему:

Результирующий момент произвольной системы векторов относительно оси равен проекции на эту ось результирующего момента системы относительно какой-нибудь точки О на оси.

Эту теорему можно применить к трем прямоугольным осям , проходящим через точку О. Таким образом, результирующие моменты L, М и N произвольной системы векторов относительно трех прямоугольных осей равны проекциям на эти оси результирующего момента

относительно начала. Отсюда следует, что L, М, N суть координаты точки G относительно осей.

15. Изменение результирующего момента с изменением положения центра моментов.

Пусть есть система векторов, приложенных к точкам — их главный вектор. Рассмотрим два различных центра моментов О и О и результирующие моменты С и С системы относительно этих двух точек. Мы имеем следующую теорему.

Теорема. — Результирующий момент G системы относительно точки О равен геометрической сумме ее результирующего момента G относительно точки О и момента относительно О главного вектора R системы, приложенного в О.

Эта теорема есть следствие распределительного свойства векторного произведения.

Мы имеем:

Так как вектор может быть разложен по формуле:

то получим:

что и доказывает теорему.

В качестве частного случая, отсюда вытекает следующая основная теорема:

Теорема. — Если главный вектор системы равен нулю, то главный момент ее один и тот же для всех точек пространства.

В общем случае, когда главный вектор не равен нулю, главные моменты одинаковы для всех точек прямой, параллельной главному вектору. В самом деле, если два центра лежат на прямой, параллельной R, то

линия действия вектора R, приложенного в О, проходит через О, и момент R относительно О равен нулю.

16. Теорема.

Если главный вектор системы векторов не равен нулю, то проекция главного момента системы на направление главного вектора постоянна для любого центра моментов.

Пусть G и G — главные моменты для двух произвольных центров О и О. Напишем вновь соотношение предыдущего п°

Момент перпендикулярен к поэтому, если оектировать обе части предыдущего равенава на прямую, параллельную R, то получим:

Произведения этих проекций на модуль R главного вектора равны скалярным произведениям (RG). Следовательно, скалярное произведение (RG) имеет одно и то же значение для всех точек пространства.

17. Центральная ось. Наименьший главный момент.

Так как проекция главного момента на главный вектор R (предполагаемый отличным от нуля) одна и та же для всех центров моментов, то главный момент будет наименьшим, если он параллелен R. Найдем геометрическое точек пространства, для которых это условие выполняется.

Пусть О — начзло прямоугольных осей Охуг, и пусть L, М, N — главные моменты системы относительно этих осей; они являются в то же время проекциями на оси глазного момента G относительно точки О. Пусть — координаты некоторой точки О. Момент G относительно О равем (п° 15), его проекции на оси будут

Условие, что вектор парзллелен R (проекции которого суть X, Y, Z), дает уравнения прямой:

Прямая, определяемая этими уравнениями, параллельна R, так как уравнения не изменятся, если увеличить х,у, на количества, пропорциональные X, Y, Z. Эту прямую называют центральной осью моментов. Отсюда имеем следующую теорему:

Теорема. — Если вектор R не равен нулю, то существует прямая, параллельная R и называемая центральной осью, для всех точек которой главный момент системы получает свое наименьшее значение и оказывается равным своей постоянной проекции на R.

Если вектор равен нулю, то главный момент системы постоянен, и вопрос о его наименьшем значении отпадает. Предыдущие уравнения становятся неопределенными.

Наименьший момент может быть равен нулю. Пусть главный вектор R не равен нулю. Тогда для равенства нулю наименьшего главного момента необходимо и достаточно, чтобы главный момент G был перпендикулярен к главному вектору R для какой-нибудь точки, например, для начала координат О. Значит, скалярное произведение векторов R и G должно быть равно нулю, что выражается уравнением: