§ 2. ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ. СЛОЖЕНИЕ СКОРОСТЕЙ

46. Абсолютное движение; относительное движение; переносное движение.

Предположим, что система осей, к которой отнесено движение точки, не рассматривается

более как неподвижная, но сама движется относительно другой системы, принимаемой за неподвижную. Относительным движением точки называется движение ее относительно подвижной системы осей. Это движение представляет собой то кажущееся движение, которое видит наблюдатель, когда он перемещается вместе с подвижной системой. Абсолютным движением точки называется движение ее относительно неподвижных осей. Наконец, переносным движением точки в данный момент называют то движение, которое эта точка имела бы, если бы в этот момент она была неизменно связана с подвижной системой осей и, следовательно, перемещалась бы вместе с этой системой. Абсолютное движение называется еще результирующим движением, а два других — составляющими движениями.

Траектория, скорость, ускорение и т. д. называются абсолютными, относительными или переносными, смотря по тому, относятся ли они к движению абсолютному, относительному или переносному.

47. Теорема сложения скоростей.

Абсолютная скорость движущейся точки в каждый момент времени равна геометрической сумме относительной и переносной скоростей.

Пусть Охуz есть система неподвижных осей, Охуz — система подвижных осей. Относительные координаты движущейся точки и ее абсолютные координаты связаны в каждый момент t формулами преобразования координат. Эти формулы представляют собой линейные соотношения, первое из которых имеет вид:

Координаты x, у, z и суть функции времени коэффициенты преобразования — также функции t, но они зависят только от положения подвижных осей. Чтобы получить проекцию вектора абсолютной скорости v на неподвижную ось нужно продифференцировать

значение по t. Таким способом находим:

В правой части этого равенства мы написали слагаемые в двух строках: первая из них представляет величину, в которую обратилась бы v если бы , с были постоянны, т. е. если бы система Oxyz была неподвижна; следовательно, эта строка представляет собой проекцию относительной скорости v на неподвижную ось . Вторая строка есть, то, во что обратилась бы если бы были постоянны, т. е. если бы точка М была неподвижна в подвижной системе осей; так что эта строка представляет проекцию на ось переносной скорости Предшествующее уравнение приводится, таким образом, к первому из написанных ниже уравнений (два других получаются по аналогии)

Система этих трех алгебраических уравнений эквивалентна одному геометрическому равенству

что и доказывает теорему.

Обратно, из предшествующего соотношения получаем:

Таким образом, относительная (геометрическая) скорость равна геометрической разности абсолютной и переносной скоростей.

Другое доказательство. — Теорему сложения скоростей можно также вывести при помощи сложения перемещений. Обозначим через неподвижную систему и через подвижную систему отсчета. Рассмотрим абсолютное перемещение движущейся точки за промежуток времени от t до . В течение этого времени

подвижная система переходит из начального положения , в конечное положение Перемещение ММ точки М можно осуществить двумя последовательными перемещениями: сначала переводят систему не меняя положения в ней точки М, что переводит М в где есть переносное перемещение; потом, оставляя систему в ее конечном положении переводят точку М из в М по ее относительной траектории. Перемещение есть относительное перемещение точки в системе (остановленной в ее конечном положении). Абсолютное перемещение есть геометрическая сумма определенных таким образом перемещений, переноса о и относительного.

Отсюда имеем геометрическое равенство:

Если разделим это равенство на М и заставим стремиться к нулю, то получим:

и, следовательно,

48. Радиальная скорость точки.

Пусть точки. есгь неподвижный полюс и М — движущаяся точка, которая описывает какую-нибудь траекторию (плоскую или пространственную). Проведем радиус-вектор ОМ. Движение точки М можно рассматривать как абсолютное движение, результирующее двух составляющих движений: движения относительного вдоль прямой ОМ и движения переносного, вызванного вращением этой прямой вокруг полюса. Относительная скорость v точки есть ее скорость в прямолинейном движении, она направлена по радиусу-вектору, и ее алгебраическое значение есть ; эту скорость называют радиальной скоростью точки.

Переносная скорость перпендикулярна к радиусу-вектору, так как точка, связанная с прямой ОМ, движется по сфере с центром в О. Эта вторая составляющая абсолютной скорости перпендикулярна к первой; следовательно, первая составляющая есть проекция абсолютной скорости на радиус-вектор. Отсюда имеем следующую теорему, которая часто оказывается полезной.

Радиальная скорость точки равна проекции ее геометрической скорости на радиус-вектор.

Фиг. 7.

Если траектория есть плоская кривая, то полюс О можно поместить в ее плоскости. Тогда положение радиуса-вектора определяется углом 6, который он составляет с неподвижной ссью ОХ (фиг. 7). Переносное движение круговое, и перенос: алгебраическая скорость равна Эта переносная скорость, перпендикулярная к радиусу, получила название трансверсальной скорости. Абсолютная геометрическая скорость точки есть результирующая скоростей и радиальной и трансверсальной. Ее величина равна

Умножая это значение v на получаем известную формулу, которая дает дифференциал дуги плоской кривой в полярных координатах

Далее мы увидим, как теорема о радиальной скорости может быть использована при построении касательных к кривым (п°50).

49. Одновременные движения в произвольном числе.

Предположим, что движущаяся точка перемещается относительно первой системы отсчета Пусть, далее, система движется относительно второй системы , которая, в свою очередь, движется относительно третьей системы , и так далее до последней системы которая неподвижна.

Скорость точки относительно системы определяется по известному правилу сложения скоростей: это есть результирующая относительной скорости v по отношению к и переносной скорости которую точка имела бы относительно если бы она была неподвижна в Итак, скорость по отношению к равна Скорость точки относительно есть таким же образом результирующая относительной скорости по отношению к т. е. скорости и переносной скорости которую точка имела бы по отношению к если бы она была неподвижна в . Искомая скорость, следовательно, равна . Продолжая этот процесс, получаем следующую общую теорему:

Абсолютная скорость движущейся точки есть результирующая ее относительной скорости по отношению к первой подвижной системе отсчета и всех ее последовательных переносных скоростей, вызванных движением первой системы относительно второй, второй относительно третьей, и так далее.

Когда говорят, что тело участвует в нескольких одновременных движениях, это нужно понимать лишь в толоко что указанном смысле. Первое движение есть относительное движение тела по отношению к первой системе отсчета, остальные представляют последовательные переносные движения, вызванные перемещением первой системы относительно второй, второй относительно третьей, и т. д. Пусть, например, какое-нибудь тело движется относительно вагона, вагон движется относительно Земли, Земля вращается вокруг своей оси, эта ось перемещается вокруг Солнца, — все это будут одновременные движения в указанном выше смысле.

50. Построение касательных к кривым.

Способ Роберваля построения касательной к кривой заключается в том, что эту кривую рассматривают как траекторию движущейся точки и разлагают движение этой точки на несколько более простых одновременных движений, в каждом из которых скорость может быть легко построена. Абсолютная скорость, направление которой определяет касательную, есть результирующая указанных выше составляющих скоростей.

Фиг. 8.

Например, спираль Архимеда (фиг. 8) описывается точкой М, которая движется равномерно по прямой ОР, в то время как точка Р этой прямой равномерным движением описывает окружность вокруг полюса О со скоростью PS. Относительное движение точки М есгь движение прямолинейное, и относительная скорость MV, направленная по прямой МР, постоянна. Переносное движение вызывается вращением прямой вокруг полюса; скорость переносного движения MV" перпендикулярна к прямей и относится к скорости PS так же, как ОМ к ОР, что позволяет легко ее построить. Геометрическая скорость MV есть результирующая двух указанных скоростей и направлена по касательной к спирали.

Теорема о радиальной скорости (п° 48), позволяющая найти проекцию скорости на радиус-вектор, дает другой способ построения касательных к кривым, отличный от способа Роберваля.

Например, эллипс описывается точкой М, сумма расстояний которой от двух фокусов F и F (фиг. 9) есть величина постоянная. Поэтому имеем:

Эти производные представляют собой радиальные скорости, относящиеся к каждому из двух радиусов-векторов, или ортогональные проекции скорости на эти радиусы. Так как эти проекции равны по величине, то скорость v, а следовательно, и касательная к кривой, направлены по биссектрисе угла, составленного радиусами-векторами, проведенными из фокусов.

Фиг. 9.

Было бы большой ошибкой смешивать этот способ со способом Роберваля. В предшествующем примере движение по эллипсу не разлагается на два одновременных движения по радиусам, проведенным из фокусов, и радиальные скорости не представляют собой составляющих скорости точки по этим двум направлениям. В самом деле, составляющие вектора по двум направлениям совпадают с его ортогональными проекциями на них только в том случае, когда указанные направления взаимно перпендикулярны.

Лемниската дает другое простое приложение теоремы о радиальной скорости, и этот новый пример подтверждает предшествующее замечание.

Лемниската описывается точкой М, для которой произведение ее расстояний от двух фокусов постоянно. Отсюда заключаем:

Таким образом, радиальные скорости по двум радиусам, проведенным из фокусов, находятся в том же отношении, как и сами радиусы. Следовательно, известно отношение ортогональных проекций скорости точки М на оба радиуса, а потому направление этой скорости находится непосредственно.