§ 4. РАВНОВЕСИЕ НЕСВОБОДНОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА

189. Метод реакций.

Чтобы найти условия равновесия несвободного твердого тела, т. е. тела, на которое наложены связи, можно с успехом воспользоваться методом реакций.

Этот метод заключается в том, что твердое тело можно рассматривать как свободное, если ввести в качестве вспомогательных неизвестных реакции, происходящие от наложенных на тело связей.

Реакции представляют собой силы, определяемые связями; в данном случае это будут внешние силы, так как они не вызываются действием точек, принадлежащих телу. В связи с этим необходимо различать два рода внешних сил: активные, или прямо приложенные силы, которые задают произвольно и заставляют действовать на тело, и силы связи, или реакции, возникающие автоматически как следствия первых. Внутренние силы, действующие между точками системы, представляют собою также силы связи, но они попарно исключаются и не входят в условия равновесия.

Законы геометрической статики позволяют вывести общие условия равновесия прямо приложенных сил, но они не всегда оказываются достаточными для определения реакций: они будут достаточны лишь в том случае, когда эти реакции определяются общими условиями равновесия, которые всегда необходимы.

190. Равновесие твердого тела, имеющего одну неподвижную точку.

Твердое тело, имеющее неподвижную точку О, около которой оно может свободно двигаться, и находящееся под действием прямо приложенных сил , представляет собою то, что называют рычагом в самом общем смысле слова.

Для равновесия тела, имеющего одну неподвижную точку, необходимо и достаточно, чтобы результирующий момент прямо приложенных сил относительно этой точки был равен нулю.

Пусть R есть реакция в неподвижной точке. Тело может рассматриваться как свободное под действием реакции R и прямо приложенных сил .

Поэтому, чтобы равновесие имело место, система сил R и должна быть эквивалентна нулю.

Если равновесие имеет место, то результирующий момент системы сил равен нулю относительно произвольной точки, в частности, относительно неподвижной точки О. Но, так как сила R приложена в этой точке и имеет момент относительно нее равный нулю, то результирующий момент сил F относительно О также равен нулю.

Обратно, если результирующий момент сил F относительно точки О равен нулю, то эти силы приводятся к одной результирующей, приложенной в этой точке. В этом случае равновесие должно иметь место, так как эта результирующая необходимо уравновешивается сопротивлением в точке О, которая закреплена неподвижно. В закрепленной точке развивается, таким образом, реакция связи R, равная и прямо противоположная геометрической сумме прямо приложенных сил. Реакция определяется, таким образом, вполне.

191. Равновесие твердого тела, имеющего неподвижную ось.

Рассмотрим твердое тело, имеющее неподвижную ось, вокруг которой оно может свободно вращаться. Неподвижность этой оси может быть достигнута закреплением двух точек тела. Но можно также закрепить большее число точек или даже целый прямолинейный

отрезок оси. Пусть, как и в предыдущем случае, на тело действуют прямо приложенные силы .

Для равновесия твердого тем, имеющего неподвижную ось, необходимо и достаточно, чтобы результирующий момент прямо приложенных сил относительно этой оси был равен нулю.

Это условие необходимо, так как если равновесие имеет место, то результирующий момент всех внешних сил (активных и реакции) равен нулю относительно любой оси, в частности и относительно неподвижной оси. Но результирующий момент реакций (которые все проходят через ось) относительно этой оси равен нулю. Следовательно, результирующий момент активных сил F также равен нулю.

Это условие и достаточно, так как если оно имеет место, то, как мы сейчас покажем, тело будет в равновесии. В самом деле, можно утверждать, что активные силы F при данном условии могут быть приведены только к двум силам, которые можно считать приложенными в двух точках О и О, выбранных произвольно на закрепленной оси.

Действительно, прежде всего, эти силы приводятся к двум силам, из которых одна Р приложена в точке О, а другая Р — в некоторой подходящим образом выбранной точке О. Но, по предположению, результирующий момент системы Р, Р (эквивалентной системе F) относительно фиксированной оси равен нулю. Так как момент силы Р (пересекающей ось) в отдельности равен нулю, то момент силы Р тоже равен нулю.

Следовательно, Р и ось ОО' лежат в одной плоскости, а потому вектор Р может быть разложен на два по двум направлениям . Векторы можно перенести соответственно в точки , потом сложить что даст . В результате останутся только две силы приложенные в точках О и О'.

Так как эти две силы приложены в точках неподвижной оси, то они необходимо будут уравновешены сопротивлением этой последней.

192. Определение реакций

В случае тела, имеющего неподвижную ось, полное определение реакций может быть произведено лишь при учете деформаций тела. Одних уравнений геометрической статики оказывается для этого недостаточно.

Рассмотрим самый простой случай, когда неподвижность оси достигается закреплением только двух ее точек О и О.

Возьмем три прямоугольные оси координат Oxyz с началом в закрепленной точке О и с осью z, взятой по направлению неподвижной оси ОО.

Пусть X, Y, Z — суммы проекций прямо приложенных сил и - результирующие моменты этих сил относительно осей. Пусть X, У, Z и — проекции реакций в неподвижных точках О и О. Моменты относительно осей равны нулю; моменты если обозначить через а расстояние ОО, соответственно равны

Шесть уравнений равновесия твердого тела, рассматриваемого как свободное под действием всех этих сил, будут:

Последнее уравнение не зависит от реакций. Это единственное условие равновесия, уже рассмотренное выше. Два предпоследние уравнения определяют соответственно X" и после этого два первых определят X и Y. Наконец, остается неиспользованным только одно уравнение — третье:

Это уравнение позволяет определить сумму ко оно, конечно, недостаточно для определения каждой из этих двух составляющих отдельно. Z и Z" можно определить, лишь принимая во внимание внутренние силы, возникающие в теле вследствие упругих деформаций,

геометрическая же статика вовсе исключает из рассмотрения эти деформации.

Можно было предвидеть заранее, что геометрическая статика не в состоянии определить Z и так как основной ее постулат позволяет прибавлять или отбрасывать две равные и прямо противоположные силы, приложенные в двух точках О и О. Он позволяет поэтому увеличить Z на произвольное количество при условии, что то же самое количество вычитается из

193. Равновесие твердого тела, опирающегося на плоскость.

Рассмотрим твердое тело, опирающееся на неподвижную плоскость в некотором числе отдельных точек не лежащих на одной прямой. Число этих точек должно быть поэтому не меньше трех. Пусть при этом тело может скользить свободно и без трения по плоскости. Пусть далее все тело расположено с одной стороны плоскости; эту сторону мы будем называть внешней стороной, допуская, что плоскость представляет собой поверхность материального тела, имеющего достаточную твердость, чтобы препятствовать проникновению рассматриваемого тела, но неспособного удерживать последнее всегда на своей поверхности. Другими словами, плоскость может развивать реакцию только во внешнюю сторону (как это происходит в том случае, когда тяжелый предмет положен на горизонтальный стол). Пусть тело находится под действием заданных активных сил и требуется определить условия равновесия.

Пусть соответственно - нормальные реакции плоскости в точках опоры

Так как плоскость может развивать реакцию только во внешнюю сторону, то эти реакции параллельны между собой и одинаково ориентированы: они поэтому имеют равнодействующую R, равную их сумме и тоже с ориентацией во внешнюю сторону плоскости. Точка О плоскости, в которой приложена равнодействующая R, лежит всегда с той же стороны, как точки опоры, от всякой прямой (такой как АА" на фиг. 32), оставляющей

все точки опоры с одной стороны. Действительно, момент равнодействующей относительно этой прямой имеет тот же знак, что и моменты реакций. Следовательно, точка приложения равнодействующей R будет заключена внутри выпуклого многоугольника, который содержит точки опоры и называется опорным многоугольником. Для равновесия необходимо и достаточно, чтобы силы, прямо приложенные к твердому телу, имели равнодействующую Q, равную и прямо противоположную R. Отсюда имеем следующее заключение:

Фиг. 32.

Для равновесия твердого тела, опирающегося на неподвижную плоскость в нескольких точках, необходимо и достаточно, чтобы прямо приложенные к телу силы имели равнодействующую, нормальную к плоскости, ориентированную во внутреннюю сторону и пересекающую плоскость внутри опорного многоугольника или (в предельном случае) на его контуре.

На основании изложенного выше эти условия необходимы, но они также и достаточны. В самом деле, если они выполняются, то точка пересечения О равнодействующей Q с плоскостью опоры лежит внутри треугольника, образованного тремя опорными точками, выбранными соответствующим образом среди вершин опорного многоугольника, например (фиг. 32). В этом случае сила Q эквивалентна трем силам, нормальным к плоскости, так же ориентированным и проходящим через точки . Эти силы необходимо уравновешиваются сопротивлением плоскости в точках опоры.

Предполагая, что условия равновесия выполняются, поставим своей задачей определить реакции неподвижной

плоскости в каждой из точек опоры. Выберем систему осей Оху в опорной плоскости; пусть — координаты точки, в которой равнодействующая Q пересекает эту плоскость; далее пусть координаты точек опоры, наконец, - абсолютные величины неизвестных реакций.

Так как сила Q равна по величине сумме реакций и пересекает плоскость в центре , этих параллельных сил, то будем иметь три уравнения:

Если имеются только три точки опоры, не лежащие на одной прямой, для чего необходимо, чтобы детерминант системы

был отличен от нуля, то эти три уравнения определят три неизвестные . Если же имеется более трех неизвестных реакций, то системы трех уравнений окажется недостаточно, и для определения неизвестных реакций потребуется изучение упругих деформаций тела. Таким образом, геометрическая статика не дает достаточного числа уравнений для полного определения реакций.

Случай тяжелого твердого тела. — Эти рассуждения можно применить, в частности, к случаю тяжелого твердого тела, опирающегося на горизонтальную плоскость в нескольких точках, не лежащих на одной прямой. Действие сил тяжести приводится к весу тела, приложенному в центре тяжести. Условие равновесия заключается, таким образом, в том, чтобы вертикаль из центра тяжести падала внутрь опорного многоугольника или (в предельном случае) на одну из сторон этого многоугольника.

194. Устойчивость равновесия твердого тела, опирающегося на плоскость.

Изучение равновесия твердого тела, опирающегося на плоскость, позволяет ввести в простой форме понятие об устойчивости в статическом смысле.

Так как при равновесии тела, опирающегося на плоскость, равнодействующая прямо приложенных к нему сил нормальна к плоскости, то равновесие будет устойчивым или неустойчивым, смотря по тому, пересекает ли равнодействующая плоскость внутри контура или в точке на контуре опорного многоугольника.

Если равнодействующая пересекает плоскость в точке контура, то достаточно приложить в некоторой точке тела новую как угодно малую силу, нормальную к плоскости, чтобы вывести точку пересечения равнодействующей с плоскостью за границы опорного многоугольника и тем самым нарушить равновесие тела, не заставляя его скользить. В этом случае говорят, что равновесие неустойчиво.

Если, наоборот, равнодействующая проходит внутри опорного многоугольника, то момент ее относительно любой из сторон опорного многоугольника не равен нулю. В таком случае он имеет наименьшее значение относительно одной (или нескольких) из этих прямых, например, . Пусть М есть этот наименьший момент. Чтобы вызвать нарушение равновесия введением новой силы, действующей нормально к плоскости, необходимо сделать так, чтобы точка пересечения равнодействующей с плоскостью была выведена за пределы опорного многоугольника. Для этого достаточно приложить новую силу, момент которой относительно АА" был бы больше М и противоположен ему по знаку. В этом случае говорят, что равновесие устойчиво, наименьший момент М (момент устойчивости) измеряет, в некотором смысле, степень устойчивости равновесия.

Все эти рассуждения применимы, в частности, к случаю тяжелого твердого тела, опирающегося на горизонтальную плоскость. Равновесие такого тела устойчиво, если

центр тяжести проектируется внутрь опорного многоугольника, и неустойчиво, если эта проекция лежит на контуре.

В этом последнем случае самый незначительный добавочный груз, положенный на твердое тело так, что он проектируется в точку вне контура опорного многоугольника, вызывает опрокидывание тела на плоскость. В. случае устойчивости, наоборот, чтобы вызвать опрокидывание тела, нужно положить дополнительный груз, проектирующийся в точку вне контура опорного многоугольника, гак чтобы его момент относительно соответствующей стороны этого многоугольника превосходил наименьший для данного тела момент М (момент устойчивости).