ВВЕДЕНИЕ. НАЧАЛА ТЕОРИИ ВЕКТОРОВ

§ 1. ВЕКТОРЫ. ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ

1. Вектор.

Вектор есть отрезок прямой ОР, имеющий начало О и конец Р. Абсолютную величину отрезка ОР называют величиной (grandeur), или модулем вектора. Начало О называется также точкой приложения вектора. Бесконечную прямую, отрезком которой является вектор, и которая несет вектор, называют его основанием (support), или линией действия. Ориентация отрезка ОР (от О к Р) на линии действия есть ориентация (sens) вектора, она указывается стрелкой, помещенной в конце Р. Направление линии действия определяет направление (direction) вектора без учета его ориентации.

В аналитической геометрии вектор определятся координатами его начала и конца по отношению к трем осям (прямоугольным или косоугольным). Можно также определить вектор координатами его начала и алгебраическими значениями X, Y, Z его проекций на оси. При этом предполагается, что проектирование выполняется параллельно координатным плоскостям, так что, если х, — координаты начала вектора, то координаты его конца.

Вектор с началом О и концом Р обозначается через (ОР) или через ОР и часто также через V. Но в печатном тексте мы будем обозначать его преимущественно буквой V, напечатанной жирным шрифтом. Абсолютная величина вектора обозначается в виде АР, V или VI.

Если рассматривают векторы, имеющие общее начало О, то каждый из них можно представлять только его концом Р и обозначать в виде Р или Р. Вектор определяет в этом случае положение точки Р: мы будем говорить,

что Р есть векторная координата точки Р относительно полюса О.

Вектор полностью определяется своей величиной, направлением несущей его прямой, ориентацией и точкой приложения. Однако для определения вектора не обязательно задавать все эти четыре элемента. В связи с этим удобно различать три категории векторов в зависимости от условий, наложенных на точку приложения.

Свободный вектор определяется величиной, направлением его линии действия и ориентацией, точка же приложения его может быть взята произвольно. Скользящий вектор определяется величиной, направлением линии действия, ориентацией и, кроме того, положением линии действия, вдоль которой вектор может скользить свободно. Вектор, для определения которого необходимо задать все элементы, включая и точку приложения, представляет собой вектор приложенный, или неподвижный.

В механике чаще всего выбирают прямоугольные оси координат. В этом случае модуль вектора выражается через его проекции формулой

Направление и ориентация вектора ОР определяются тремя его направляющими косинусами:

которые связаны между собою соотношением

Когда оси координат косоугольные, отношения называются направляющими коэффициентами вектора. Из аналитической геометрии известно, что эти величины определяют направление отрезка ОР и его ориентацию.

2. Геометрическое равенство.

Два вектора V и V' геометрически равны, если они имеют одинаковые

величину, направление и ориентацию. В этом случае пишут:

Это соотношение и выражает геометрическое равенство. Если векторы отнесены к системе трех осей координат, то для геометрического равенства двух векторов необходимо и достаточно, чтобы они имели соответственно равные проекции на оси. Если обозначим эти проекции через X, Y, Z и X, Y, Z соответственно, то предыдущее геометрическое равенство распадается на три. алгебраические равенства:

которые ему эквивалентны.

Когда два вектора V и V имеют одинаковые величину и направление, но противоположно ориентированы, то говорят, что они противоположны. Будем обозначать знаками + и — две противоположные ориентации одного и того же направления в пространстве, так что, если векторы V и V противоположны, то будем писать

Это соотношение эквивалентно трем алгебраическим равенствам:

Два вектора прямо противоположны, если они противоположны и имеют одну линию действия.

3. Умножение и деление на число.

Умножить вектор V на положительное число значит построить вектор с теми же самыми началом, направлением и ориентацией, но по величине равный

Умножить вектор V на отрицательное число значит построить противоположный вектору

Разделить вектор на число значит умножить его на» число, обратное данному.

4. Сложение.

Пусть суть векторы, произвольно расположенные в пространстве. Возьмем произвольную точку О за начало и построим многоугольник последовательные стороны которого соответственно геометрически равны данным векторам Вектор замыкающий многоугольник, называется геометрической, суммой, или просто суммой векторов Этот вектор R записывается в виде:

Мы будем писать сокращенно

Так как точка О взята произвольно, то геометрическая сумма нескольких векторов есть вектор свободный.

Сумма векторов может быть определена аналитическим способом. Если обозначить через проекции вектора на три оси, то проекции X, Y, Z суммы R равны суммам проекций векторов (в силу теоремы о проекциях). Поэтому будем иметь:

Геометрическое равенство (1) эквивалентно трем алгебраическим соотношениям (2). Поэтому переместительный <и сочетательный законы алгебраического сложения распространяются и на сложение векторов.

Геометрическая разность. Геометрическая разность двух векторов V и V есть геометрическая сумма вектора V и вектора —V, противоположного V. Согласно этому определению, имеем:

На основании законов сложения эта разность представляет собой вектор, который нужно прибавить к V, чтобы получить V.

В самом деле:

5. Направление вращения вокруг оси.

Рассмотрим неподвижную ось с определенной ориентацией и точку М, движущуюся таким образом, что плоскость вращается вокруг этой оси. Вращение может происходить в двух различных направлениях: одно из них называют прямым, или положительным, другое, противоположное первому, отрицательным. Выбор прямого направления есть дело соглашения. Во всем дальнейшем предполагается, что ориентация координатных осей связана с прямым направлением вращения, т. е. поворот положительной оси на прямой угол до совмещения ее с положительной осью у происходит вокруг оси в прямом направлении. Само же прямое направление, для определенности, установим раз навсегда гак, чтобы наблюдатель, ноги которого находятся в О, а голова в , видел вращение от оси Ох к оси Оу происходящим справа налево (против направления вращения часовой стрелки).

6. Момент вектора относительно точки.

Момент вектора АР, или V относительно точки О есть новый вектор G, определяемый следующим образом (фиг. 1): он приложен в точке О, направлен по нормали к плоскости, проходящей через точку О и вектор V, ориентирован в сторону движения точки О при положительном вращении вокруг V и по величине равен произведению УЗ модуля V на расстояние 8 точки О от прямой, несущей V. Точка О называется центром момента.

Фиг. 1.

Важно обратить внимание на следующее:

1°. Ориентация вектора V совпадает с движением при прямом вращении вокруг вектора О.

2°. Величина момента равна удвоенной площади треугольника, имеющего вершиной точку О и основанием вектор V.

3°. Момент не изменяется, если заставить скользить вектор вдоль несущей его прямой. Он меняет свою ориентацию на противоположную одновременно с V.

4°. Если вектор V умножить на произвольное число (положительное или отрицательное), то момент О умножится на то же число.

7. Момент относительно оси.

Момент вектора V относительно оси определенной ориентации есть положительное или отрицательное число, равное алгебраическому значению проекци» (ортогональной) на эту ось момента V относительно точки О, взятой произвольно на оси.

Фиг. 2.

Необходимо, очевидно, показать, что выбор точки О не оказывает влияния на значение момента, определенного указанным здесь способом.

Пусть АР есть вектор Проведем через точку О (фиг. 2) плоскость, перпендикулярную к оси и найдем проекцию вектора АР на эту плоскость. Пусть, далее, OG есть момент АР, а — момент АРХ относительно точки О. Этот последний вектор лежит на оси и представляет собой, как мы сейчас покажем, проекции момента OG на эту ось.

В самом деле, пусть а есть угол (положительный и меньший прямого-) между двумя плоскостями ОАР и векторы G и б, перпендикулярны соответственно к этим двум плоскостям и ориентированы от этих плоскостей в одну и ту же сторону (в сторону или в противоположную)

они образуют поэтому между собой тот же угол а, что Я указанные две плоскости. Площадь есть проекция площади ОАР, поэтому

С другой стороны, модули соответственно равны удвоенным значениям указанных площадей; поэтому имеем также

откуда и видно, что отрезок равен проекции вектора ось так как а есть как раз угол между векторами

Так как векторы G и расположены по одну сторону от плоскости, нормальной к то есть геометрическая проекция Q на

Момент вектора V относительно оси есть алгебраическое значение момента относительно некоторой точки О этой оси проекции вектора V на плоскость, перпендикулярную к оси и проходящую через точку О.

Это определение, очевидно, не зависит от выбора точки О на оси а потому то же справедливо и для первого определения.

Замечания. — 1°. Момент вектора V относительно оси будет положительным или отрицательным, смотря по тому, будет ли проекция вектора на плоскость, перпендикулярную к оси ориентирована в положительную или отрицательную сторону вращения вокруг

2°. Момент вектора V относительно оси может обратиться в нуль лишь в том случае, когда вектор равен нулю или когда он лежит в одной плоскости с осью

8. Моменты вектора относительно трех прямоугольных координатных осей.

Пусть АР есть вектор, отнесенный к трем прямоугольным осям; пусть далее — координаты его начала А, и X, Y, Z - его проекции на оси. Вычислим момент вектора относительно оси Согласно

второму определению предыдущего , этот момент равен алгебраическому значению момента относительно начала координат проекции вектора АР на плоскость Последний момент получается непосредственно, если вектор приложен в точке оси X (фиг. 3).

Фиг. 3.

В самом деле, так как есть абсцисса точки то рассматриваемый момент равен по величине удвоенной площади треугольника с основанием и высотой Y; а потому, если оставить пока в стороне знак, он равен Но равенство справедливо также и в смысле знака, так как это произведение положительно или отрицательно, смотря по тому, ориентирован ли вектор в положительную или отрицательную сторону вращения вокруг оси или, иначе, ориентирован ли момент этого вектора в сторону положительных или отрицательных .

В общем случае вектор приложен в произвольной точке с координатами у (фиг. 3); но так как этот вектор можно перенести, не изменяя значения момента, а произвольную точку линии его действия, то можно переместить его до оси что приводит к рассмотренному уже случаю.

Все сводится, таким образом, к отысканию абсциссы точки пересечения линии действия вектора с оськ) . Эта прямая проходит через точки уравнение ее имеет вид:

и при

отсюда имеем по величине и знаку искомый момент:

Обозначим через L, М, ЛГ моменты вектора АР относительно каждой из трех координатных осей. Мы только что вычислили N; два другие момента L и М получаются таким же способом; все три момента могут быть получены один из другого при помощи круговой перестановки, букв и X, Y, Z. Таким образом, будем иметь

Замечание. Важно напомнить, что L, М, N представляют собой также проекции на оси координат момента вектора АР относительно начала координат ().

9. Векторное произведение.

Векторное произведение двух векторов и есть свободный вектор, определяемый следующим образом:

Приложим оба вектора и к одной точке О; векторное произведение есть вектор, равный по величине площади параллелограма, построенного на этих векторах, направленный по нормали к плоскости этих векторов И ориентированный так, чтобы вращение от происходило вокруг него в прямом направлении.

Если векторы параллельны между собой, то их векторное произведение равно нулю.

Из этого определения следует, что векторное произведение не обладает переместительным свойством: два произведения противоположны.

Векторное произведение приводится к моменту. В самом деле, приложим вектор к точке О, а вектор к концу первого вектора. Непосредственно видно, что произведение равно моменту вектора относительно точки О.

Принимая точку О за начало прямоугольных осей, непосредственно получаем проекции произведения На эти оси или на оси, параллельные им.

Пусть проекции множителей . Тогда искомые проекции равны моментам относительно осей вектора приложенного -в точке и выражаются следующими разностями:

Отсюда ясно видно, что проекции векторного произведения меняют знак, если изменить порядок множителей.

Можно заметить, что проекции произведения на прямоугольные оси равны соответственно определителям, образованным из матрицы

Векторное умножение не коммутативно, легко убедиться также в том, что оно не обладает и свойством ассоциативности: произведения вектора на V» и вектора на вообще говоря, различны между собой. Наоборот, эта операция, как и сложение, обладает распределительным свойством. В самом деле, имеем:

Все эти свойства непосредственно проверяются на проекциях векторов.

Замечание. Момент вектора V относительно точки О может быть, в свою очередь, определен как векторное произведение. Пусть М есть точка приложения вектора момент вектора V относительно точки О есть произведение [MV] векторной координаты точки М (относительно полюса О) на вектор V.

10. Скалярное произведение.

Скалярное произведение двух векторов и есть положительное или отрицательное число, равноэ произведению модулей этих

векторов на косинус угла а между ними. Это произведение обозначается через таким образом, имеем:

Скалярное произведение можно рассматривать как произведение двух множителей:

оно равно поэтому произведению величины одного из множителей на проекцию (взятую с ее знаком) другого множителя на направление первого.

Скалярное умножение приводится к алгебраическому умножению и потому обладает переместительным и распределительным свойствами.

Предположим, что векторы и отнесены к системе прямоугольных осей, и пусть их проекции. Найдем аналитическое выражение скалярного произведения этих векторов. Имеем

Следовательно,