Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЙ В ПЛОСКОЙ ФИГУРЕ, ДВИЖУЩЕЙСЯ В СВОЕЙ ПЛОСКОСТИ83. Разложение ускорения точки фигуры на три составляющих.Рассмотрим плоскую фигуру, движущуюся в своей плоскости. Отнесем ее к двум прямоугольным осям Ох и Оу. Пусть
Проекции на оси ускорения точки М. равны производным от этих величин по времени:
откуда, подставляя
Каждая из правых частей формул (2) представляет собой сумму трех членов, которым можно дать следующую кинематическую интерпретацию. Для точки Если бы мгновенный центр был неподвижен, то движение было бы круговым, и правые части приводились бы ко второму и третьему членам:
Но в этом круговом движении нормальное ускорение, равное по величине Формулы (2) приводятся, таким образом, к геометрическому равенству
и мы имеем следующую теорему: При движении плоской фигуры в ее плоскости ускорение любой точки фигуры равно геометрической сумме трех отдельных ускорений: 1° ускорения 84. Центр ускоренийЕсли величины шиш обе равны нулю, то из формул (2) видно, что все точки фигуры имеют одно и то же ускорение
Вычтем из предыдущих выражений нулевые их значения, которые получим, полагая в них
Это как раз такие формулы, которые мы имели бы (на основании сказанного в предшествующем п°), если бы точка М. вращалась вокруг точки Мы имеем, таким образом, следующую теорему: В каждый момент времени (исключая момент, когда 85. Определение нормального и тангенциального ускорений точки фигуры. Окружность и полюс перегибов.Выберем для простоты оси координат специальным образом (фиг. 17). Поместим начало в мгновенном центре вращения С и проведем ось
Пусть w есть вектор скорости переменного мгновенного центра С; проекции этого вектора на оси равны
где
Таким образом, w имеет знак, одинаковый со знаком
Фиг. 17.
Фиг. 18. Полное ускорение точки М получается сложением ее ускорения при круговом движении вокруг С с ускорением Пусть
Обозначим через и величину (положительную вместе с
тогда значение нормального ускорения равно
Переходим к тангенциальному ускорению. Положительная ориентация для этого ускорения определяется направлением прямого вращения вокруг точки
Рассмотрим некоторые приложения этих формул.
Фиг. 19. Найдем сначала геометрическое место точек движущейся фигуры, нормальные ускорения которых в момент t равны нулю. На основании формулы (4) уравнение этой кривой имеет вид:
Отложим на оси перегиба своей траектории, то она должна находиться в данный момент на этой окружности, так как Найдем также геометрическое место точек фигуры, касательные ускорения которых равны нулю. На основании формулы (5) уравнение этого геометрического места будет
Отложим по оси Точка К удалится в бесконечность, если угловая скорость о) обратится в нуль; точка Точка С движущейся фигуры была исключена из предыдущих рассуждений. В этой точке скорость равна нулю, поэтому ее ускорение 86. Формула Савари.Выражение (4) для MZ, считая это значение положительным при ориентации в ту же сторону, как
сравнивая полученную формулу с выражением (4) для
или
Пусть А — точка, в которой радиус-вектор СМ пересекает окружность перегибов. Так как имеем (учитывая знаки)
то предыдущая формула дает, по величине и знаку,
Полученная формула носит название формулы Савари. Она написана в виде, наиболее удобном для учета знаков. Между тем, чаще всего ее пишут иначе. Соотношение (6) может быть написано в виде
полагая
Такова, в ее классической форме, формула Савари. Формула Савари, написанная в виде (7), показывает, что два отрезка MZ и МА имеют одинаковые знаки, т. е. ориентированы в одну сторону. Таким образом, центр кривизны всегда лежит на перпендикуляре МС к скорости точки М с той же стороны от 87. Первое построение центра кривизны.Если известно положение мгновенного центра С и полюса перегибов К, то формула Савари дает возможность построить центр кривизны Z следующим образом. Из точки М проводят полупрямые МС и MR (фиг. 20). Из точки С восставляют к МС перпендикуляр
откуда
Таким образом, Z есть центр кривизны, в силу формулы (7).
Фиг. 20. 88. Второе построение центра кривизны.Если кроме С, известна точка А на радиусе МС (что имеет место, когда дана окружность перегибов), то центр кривизны Z можно построить, не обращаясь к точке К. Сначала проводим произвольные прямые MN и Если бы неизвестным было положение точки А, а даны были бы точки М и Z, то, изменив соответственно построение, мы нашли бы точку А. Отсюда следует, что для построения окружности перегибов достаточно знать мгновенный центр С и центры кривизны Z и Z траекторий двух точек М и М фигуры. Необходимо только, чтобы радиусы-векторы
Фиг. 21. 89. Третье построение центра кривизны.Если известны положения центров кривизны О и О подвижной Проведем через точку С две прямоугольные оси Если бы неподвижная центроида катилась по своей касательной повернулась бы на угол (положительный или отрицательный)
Точно так же, если бы подвижная центроида катилась по твоей касательной, то она повернулась бы на угол
но, так как она катится по кривой
Так как этот угол равен
Фиг. 22. Таким образом, приходим к следующему построению точки К (фиг. 22). Соединим произвольную точку N плоскости с тремя точками Действительно, имеем
или
Таким образом, в силу результата, полученного выше, имеем С
Фиг. 23. Когда даны два центра кривизны, то для определения центра кривизны L траектории точки М фигуры нет необходимости строить полюс перегибов К. Действительно, в этом случае мы можем выполнить следующее построение Савари (фиг. 23). Соединяем точку М с центром кривизны О подвижной центроиды; проводим через мгновенный центр перпендикуляр CN к МС, представляющий собой нормаль к траектории точки М. CN пересекает МО в точке N; проводим прямую ON. Эта прямая пересечет нормаль МС в искомом центре кривизны. В самом деле, построим полюс перегибов К только что указанным способом, проводя прямую CN, параллельную ON и пересекающую ОМ в 90. Центр кривизны огибающей неизменяемой движущейся линии.Рассмотрим кривую PQ неизменяемой формы, движущуюся так, что она постоянно остается в соприкосновении с другой кривой в этой точке. При перемещении движущейся фигуры прямая GZ, представляющая собой общую нормаль к кривым PQ и RS, катится по развертке кривой В свою очередь при движении по отношению к GZ развертка кривой PQ (которая в своем абсолютном движении увлекает движущуюся фигуру, но не изображена на фигуре 24) катится по той же нормали GZ. Перемещение движущейся фигуры складывается, таким образом, из двух одновременных движений: переносного качения вместе с прямой GZ и относительного качения по
Фиг. 24. В относительном движении скорость центра кривизны О, совпадающего с точкой касания прямой GZ и развертки, равна нулю, поэтому скорость точки О приводится к скорости переносного движения. Пусть С — мгновенный центр абсолютного вращения кривой
С другой стороны, мгновенный центр С перемещается по нормали GZ; скорость его переносного движения есть проекция на направление, перпендикулярное к GZ, его абсолютной скорости w, составляющей с GZ (или МС) угол
Исключая
Эта формула тождественна с формулой Савари, следовательно, Z есть центр кривизны траектории точки О. Мы имеем, таким образом, следующую замечательную теорему: Если кривая неизменяемой формы перемещается в своей плоскости и имеет огибающую, то центр кривизны огибающей в какой-нибудь ее точке совпадает с центром кривизны траектории, описываемой центром кривизны подвижной кривой, в Если движущаяся кривая представляет собой прямую, то центр кривизны ее удален в бесконечность по нормали к ней, но теорема остается справедливой. 91. Различные приложенияЭпициклоиды. Окружность с центром О катится внешним образом по неподвижной окружности с центром О: точка М движущейся окружности описывает при этом эпициклоиду. Точка касания С обеих окружностей есть мгновенный центр, МС—нормаль к эпициклоиде. Проведем диаметр MON движущейся окружности и соединим N и О, прямая Рассмотрим теперь эллипс, описанный точкой М прямой АВ (фиг. 25), которая скользит своими концами по двум неподвижным осям Ох и Оу. Мгновенный центр С есть точка пересечения перпендикуляров к обеим осям, восставленных в точках А и В. Точка К совпадает с точкой пересечения О обеих осей Ох и Оу, так как скорости точек А и В проходят через К (все точки прямолинейной траектории представляют собой точки перегиба).
Фиг. 26.
Фиг. 25. Теперь можем выполнить первое построение центра кривизны Z (п° 87): соединяем прямой точки О и М, проводим прямую CN, перпендикулярную к МС и пересекающую ОМ в точке N, и прямую NZ, параллельную ОС и пересекающую СМ в Z: точка Z и будет искомым центром кривизны. Можно также найти центр кривизны огибающей прямой АВ, рассмотренной в предыдущей задаче (фиг. 26). Мы знаем уже мгновенный центр С и центр перегибов О (точка К предшествующих n°). Точка касания М прямой с ее огибающей есть основание перпендикуляра СМ, опущенного из точки С на прямую, так как точка М перемещается параллельно АВ. Найдем теперь центр кривизны Z огибающей в этой точке. Центр кривизны огибаемой (прямой АВ) есть точка О, удаленная в бесконечность по прямой СМ. Искомый центр Z есть центр кривизны траектории, описываемой в бесконечности точкой О движущейся фигуры. Первое построение этого центра кривизны (n° 87) выполняется в данном случае как в предельном следующим образом: Проводим прямую OD (заменяющую GK, n° 87), параллельную МС и пересекающую АВ в точке D, затем прямую
|
1 |
Оглавление
|