§ 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЙ В ПЛОСКОЙ ФИГУРЕ, ДВИЖУЩЕЙСЯ В СВОЕЙ ПЛОСКОСТИ

83. Разложение ускорения точки фигуры на три составляющих.

Рассмотрим плоскую фигуру, движущуюся в своей плоскости. Отнесем ее к двум прямоугольным осям Ох и Оу. Пусть — координаты мгновенного центра вращения С, и — алгебраическое значение угловой скорости вращения вокруг С (рассматриваемое как положительное при вращении от ). Проекции на оси скорости той точки М движущейся фигуры, координаты которой суть х, у, определяются формулами (1) п°69; их значения в момент t равны:

Проекции на оси ускорения точки М. равны производным от этих величин по времени:

откуда, подставляя из формул (1), получим:

Каждая из правых частей формул (2) представляет собой сумму трех членов, которым можно дать следующую кинематическую интерпретацию.

Для точки правые части приводятся к их первым членам . Следовательно, эти члены представляют собой проекции ускорения точки фигуры, совпадающей в данный момент с мгновенным центром

Если бы мгновенный центр был неподвижен, то движение было бы круговым, и правые части приводились бы ко второму и третьему членам:

Но в этом круговом движении нормальное ускорение, равное по величине (где есть радиус СМ), не зависит от , а тангенциальное ускорение, равное по величине не зависит от . Следовательно, вторые члены в правых формул (2), т. е. члены с суть проекции нормального ускорения а последние члены, т. е. члены с — проекции тангенциального ускорения причем эти ускорения создаются круговым движением точки М вокруг точки С (рассматриваемой как неподвижная) с переменной угловой скоростью .

Формулы (2) приводятся, таким образом, к геометрическому равенству

и мы имеем следующую теорему:

При движении плоской фигуры в ее плоскости ускорение любой точки фигуры равно геометрической сумме трех отдельных ускорений: 1° ускорения точки фигуры, совпадающей с мгновенным центром; 2 нормального ускорения тангенциального ускорения причем оба последние ускорения рассматриваются во вращательном движении вокруг мгновенного центра (предполагаемого неподвижным) с переменной угловой скоростью со.

84. Центр ускорений

Если величины шиш обе равны нулю, то из формул (2) видно, что все точки фигуры имеют одно и то же ускорение В этом случае либо ни одна из точек фигуры не имеет ускорения, равного нулю, либо ускорения всех точек равны нулю. Исключим этот случай. Если положим

полученная система линейных уравнений относительно неизвестных у будет вполне определенной, как детерминант системы, равный отличен от нуля. Эта система имеет поэтому единственное решение

Вычтем из предыдущих выражений нулевые их значения, которые получим, полагая в них тогда будем иметь:

Это как раз такие формулы, которые мы имели бы (на основании сказанного в предшествующем п°), если бы точка М. вращалась вокруг точки предполагаемой неподвижной, с переменной угловой скоростью . По этой причине точке дают название центр ускорений.

Мы имеем, таким образом, следующую теорему:

В каждый момент времени (исключая момент, когда существует единственная точка фигуры, ускорение которой равно нулю точку называют центром ускорений); ускорения всех остальных точек таковы, как если бы фигура вращалась вокруг этого центра, предполагаемого неподвижным, с переменной угловой скоростью .

85. Определение нормального и тангенциального ускорений точки фигуры. Окружность и полюс перегибов.

Выберем для простоты оси координат специальным образом (фиг. 17). Поместим начало в мгновенном центре вращения С и проведем ось по направлению ускорения точки С движущейся фигуры. Проекции на оси равны тогда (п° 83)

Пусть w есть вектор скорости переменного мгновенного центра С; проекции этого вектора на оси равны но равно нулю, так что w совпадает со своей проекцией на ось мы можем поэтому положить, по величине и знаку,

где есть алгебраическое значение скорости мгновенного центра С (скорость считается положительной, если ее направление совпадает с ). После этого имеем

Таким образом, w имеет знак, одинаковый со знаком и, следовательно, вектор скорости да повернут относительно ускорения на прямой угол в сторону вращения .

Фиг. 17.

Фиг. 18.

Полное ускорение точки М получается сложением ее ускорения при круговом движении вокруг С с ускорением Нормальная и тангенциальная составляющие полного ускорения параллельны аналогичным составляющим в круговом движении (исключение представляет лишь точка С), так как СМ есть нормаль к траектории. Поэтому чтобы получить составляющие полного ускорения, нужно прибавить соответственно к составляющие тем же направлениям. Выполним эти вычисления.

Пусть — полярные координаты точки М (предполагаемой отличной от С), т. е. есть радиус-вектор СМ, и — угол его наклона к (фиг. 18). Так как ускорение направлено по и положительное направление нормали есть МС, то алгебраическое значение полного нормального ускорения, будет

Обозначим через и величину (положительную вместе с

тогда значение нормального ускорения равно

Переходим к тангенциальному ускорению. Положительная ориентация для этого ускорения определяется направлением прямого вращения вокруг точки поэтому имеем

Рассмотрим некоторые приложения этих формул.

Фиг. 19.

Найдем сначала геометрическое место точек движущейся фигуры, нормальные ускорения которых в момент t равны нулю. На основании формулы (4) уравнение этой кривой имеет вид:

Отложим на оси (фиг. 19) от точки С в положительную сторону отрезок СК, равный и (т. е. ); предшествующее уравнение есть (в полярных координатах ) уравнение окружности, построенной на СК как на диаметре. Эта окружность называется окружностью перегибов, а точка К—полюсом перегибов. Точки фигуры, расположенные на этой окружности, проходят в данный момент через точки перегиба своих траекторий, так как их нормальные ускорения равны нулю. Обратно, если какая-нибудь точка проходит через точку

перегиба своей траектории, то она должна находиться в данный момент на этой окружности, так как для нее равно нулю. Кроме того, касательная к траектории в этой точке проходит через полюс перегибов К, так как, с одной стороны, эта касательная перпендикулярна к другой, угол КМС должен быть вписан в полуокружность, если точка М лежит на окружности перегибов.

Найдем также геометрическое место точек фигуры, касательные ускорения которых равны нулю. На основании формулы (5) уравнение этого геометрического места будет

Отложим по оси отрезок равный по величине и знаку — ; предыдущее уравнение есть уравнение окружности, построенной на отрезке как на диаметре.

Точка К удалится в бесконечность, если угловая скорость о) обратится в нуль; точка удалится в бесконечность, если угловое ускорение со будет равно нулю, а будет отлично от нуля. Если же обе величины шиш равны нулю, то положение сделается неопределенным. Исключим этот последний случай, тогда обе указанные окружности (имеющие общую точку С) пересекутся в другой точке С, полное ускорение которой равно нулю: эта точка есть поэтому центр ускорений.

Точка С движущейся фигуры была исключена из предыдущих рассуждений. В этой точке скорость равна нулю, поэтому ее ускорение параллельно ее скорости в момент и, следовательно, направлено по касательной к траектории точки С фигуры. Таким образом, есть тангенциальное ускорение, нормальное же ускорение точки фигуры, совпадающей с С, равно нулю.

86. Формула Савари.

Выражение (4) для приводит к построению центра кривизны Z траектории, описываемой точкой М движущейся фигуры. Обозначим через R алгебраическое значение радиуса кривизны

MZ, считая это значение положительным при ориентации в ту же сторону, как т. е. от М к С. Условившись так относительно знаков, будем иметь

сравнивая полученную формулу с выражением (4) для будем иметь

или

Пусть А — точка, в которой радиус-вектор СМ пересекает окружность перегибов. Так как имеем (учитывая знаки)

то предыдущая формула дает, по величине и знаку,

Полученная формула носит название формулы Савари. Она написана в виде, наиболее удобном для учета знаков. Между тем, чаще всего ее пишут иначе. Соотношение (6) может быть написано в виде

полагая , приведем его окончательно к следующему виду:

Такова, в ее классической форме, формула Савари. Формула Савари, написанная в виде (7), показывает, что два отрезка MZ и МА имеют одинаковые знаки, т. е. ориентированы в одну сторону. Таким образом, центр кривизны всегда лежит на перпендикуляре МС к скорости точки М с той же стороны от и точка А, в которой радиус-вектор СМ пересекает окружность перегибов.

87. Первое построение центра кривизны.

Если известно положение мгновенного центра С и полюса перегибов К, то формула Савари дает возможность построить центр кривизны Z следующим образом. Из точки М проводят полупрямые МС и MR (фиг. 20). Из точки С восставляют к МС перпендикуляр пересекающий МК в N, затем проводят прямую NZ, параллельную прямая NZ пересекает МС в искомом центре кривизны Z. В самом деле, если опустим, кроме того, перпендикуляр КА на МС, то А есть точка пересечения СМ с окружностью перегибов. На основании подобия имеем

откуда

Таким образом, Z есть центр кривизны, в силу формулы (7).

Фиг. 20.

88. Второе построение центра кривизны.

Если кроме С, известна точка А на радиусе МС (что имеет место, когда дана окружность перегибов), то центр кривизны Z можно построить, не обращаясь к точке К. Сначала проводим произвольные прямые MN и пересекающиеся в точке N (фиг. 21); потом строим прямую AN, параллельную пересекающую ЛШ в точке N; тогда прямая NZ, параллельная NC, пересечет МС в центре кривизны Z, как в предшествующем построении.

Если бы неизвестным было положение точки А, а даны были бы точки М и Z, то, изменив соответственно построение, мы нашли бы точку А.

Отсюда следует, что для построения окружности перегибов достаточно знать мгновенный центр С и центры кривизны Z и Z траекторий двух точек М и М фигуры.

Необходимо только, чтобы радиусы-векторы точек М и М имели различные направления. Действительно, в этом случае можно построить две различные точки А и А окружности перегибов, что вместе с точкой С дает три точки, достаточные для построения этой окружности. После этого можно построить центр кривизны для любой точки фигуры. Нетрудно, впрочем, указать прямое построение неизвестного центра кривизны при помощи двух известных центров. Это построение мы не будем здесь рассматривать.

Фиг. 21.

89. Третье построение центра кривизны.

Если известны положения центров кривизны О и О подвижной и неподвижной центроид, то полюс перегибов можно найти следующим способом.

Проведем через точку С две прямоугольные оси направив ось по общей нормали к обеим кривым, в ту сторону от неподвижной центроиды, где находится подвижная центроида. При этих условиях, если заставить фигуру двигаться так, чтобы вращение вокруг мгновенного центра происходило в положительную сторону (от ), то скорость w этого центра будет направлена по оси в положительную сторону и будет поэтому положительна. Величина , подлежащая определению, будет также положительной и расположится по Пусть R и — радиусы кривизны СО и СО подвижной и неподвижной центроид, рассматриваемые как положительные или отрицательные, смотря по тому, отложены они в сторону или в противоположную сторону. Пусть далее — длина дуги, описываемой точкой С на той и на другой кривой за время тогда

Если бы неподвижная центроида катилась по своей касательной в течение промежутка времени то она

повернулась бы на угол (положительный или отрицательный)

Точно так же, если бы подвижная центроида катилась по твоей касательной, то она повернулась бы на угол

но, так как она катится по кривой то она повернется на разность двух предыдущих углов

Так как этот угол равен , то получим

Фиг. 22.

Таким образом, приходим к следующему построению точки К (фиг. 22). Соединим произвольную точку N плоскости с тремя точками проведем прямую CN, параллельную ON и пересекающую ON в точке N; проведем, наконец, N К, параллельную CN. Прямая NK пересечет в искомой точке К, которая и есть полюс перегибов.

Действительно, имеем

или

Таким образом, в силу результата, полученного выше, имеем С

Фиг. 23.

Когда даны два центра кривизны, то для определения центра кривизны L траектории точки М фигуры нет необходимости строить полюс перегибов К. Действительно, в этом случае мы можем выполнить следующее построение Савари (фиг. 23). Соединяем точку М с центром кривизны О подвижной центроиды; проводим через мгновенный центр перпендикуляр CN к МС, представляющий собой нормаль к траектории точки М. CN пересекает МО в точке N; проводим прямую ON. Эта прямая пересечет нормаль МС в искомом центре кривизны. В самом деле, построим полюс перегибов К только что указанным способом, проводя прямую CN, параллельную ON и пересекающую ОМ в затем прямую NK, параллельную пересекающую в точке К; прямая NK (перпендикулярная к МС) пересекает в А. Теперь видно, что центр кривизны Z построен при помощи данных точек С, А и вспомогательных так же, как при втором способе построения этого центра (п° 88, фиг. 21).

90. Центр кривизны огибающей неизменяемой движущейся линии.

Рассмотрим кривую PQ неизменяемой формы, движущуюся так, что она постоянно остается в соприкосновении с другой кривой , которая представляет, таким образом, ее огибающую (фиг. ). Определение центра кривизны Z огибающей в точке М производится на основании изложенных выше соображений. Рассмотрим положение кривой PQ в тот момент, когда она касается RS в точке М, пусть G — центр кривизны

в этой точке. При перемещении движущейся фигуры прямая GZ, представляющая собой общую нормаль к кривым PQ и RS, катится по развертке кривой В свою очередь при движении по отношению к GZ развертка кривой PQ (которая в своем абсолютном движении увлекает движущуюся фигуру, но не изображена на фигуре 24) катится по той же нормали GZ. Перемещение движущейся фигуры складывается, таким образом, из двух одновременных движений: переносного качения вместе с прямой GZ и относительного качения по

Фиг. 24.

В относительном движении скорость центра кривизны О, совпадающего с точкой касания прямой GZ и развертки, равна нулю, поэтому скорость точки О приводится к скорости переносного движения. Пусть С — мгновенный центр абсолютного вращения кривой — угловая скорость вокруг — расстояние — отрезок CZ и — угловая скорость при вращении нормали GZ вокруг Z (переносное вращение). Абсолютная скорость точки G совпадает со скоростью ее переносного движения следовательно,

С другой стороны, мгновенный центр С перемещается по нормали GZ; скорость его переносного движения есть проекция на направление, перпендикулярное к GZ, его абсолютной скорости w, составляющей с GZ (или МС) угол определенный выше. Поэтому имеем

Исключая из этих двух соотношений, получим:

Эта формула тождественна с формулой Савари, следовательно, Z есть центр кривизны траектории точки О. Мы имеем, таким образом, следующую замечательную теорему:

Если кривая неизменяемой формы перемещается в своей плоскости и имеет огибающую, то центр кривизны огибающей в какой-нибудь ее точке совпадает с центром кривизны траектории, описываемой центром кривизны подвижной кривой, в момент, когдг последняя касается огибающей в рассматриваемой точке.

Если движущаяся кривая представляет собой прямую, то центр кривизны ее удален в бесконечность по нормали к ней, но теорема остается справедливой.

91. Различные приложения

Эпициклоиды. Окружность с центром О катится внешним образом по неподвижной окружности с центром О: точка М движущейся окружности описывает при этом эпициклоиду. Точка касания С обеих окружностей есть мгновенный центр, МС—нормаль к эпициклоиде. Проведем диаметр MON движущейся окружности и соединим N и О, прямая пересечет МС в центре кривизны Z эпициклоиды (п° 89). Подобным же способом можно построить центр кривизны удлиненной или укороченной эпициклоиды, описанной внешней или внутренней точкой катящейся окружности. При внутреннем качении кривая, описанная точкой М окружности, представляет собой гипоциклоиду, но построения останутся такими же.

Рассмотрим теперь эллипс, описанный точкой М прямой АВ (фиг. 25), которая скользит своими концами по двум неподвижным осям Ох и Оу. Мгновенный центр С есть точка пересечения перпендикуляров к обеим осям, восставленных в точках А и В. Точка К совпадает

с точкой пересечения О обеих осей Ох и Оу, так как скорости точек А и В проходят через К (все точки прямолинейной траектории представляют собой точки перегиба).

Фиг. 26.

Фиг. 25.

Теперь можем выполнить первое построение центра кривизны Z (п° 87): соединяем прямой точки О и М, проводим прямую CN, перпендикулярную к МС и пересекающую ОМ в точке N, и прямую NZ, параллельную ОС и пересекающую СМ в Z: точка Z и будет искомым центром кривизны.

Можно также найти центр кривизны огибающей прямой АВ, рассмотренной в предыдущей задаче (фиг. 26). Мы знаем уже мгновенный центр С и центр перегибов О (точка К предшествующих n°). Точка касания М прямой с ее огибающей есть основание перпендикуляра СМ, опущенного из точки С на прямую, так как точка М перемещается параллельно АВ. Найдем теперь центр кривизны Z огибающей в этой точке. Центр кривизны огибаемой (прямой АВ) есть точка О, удаленная в бесконечность по прямой СМ. Искомый центр Z есть центр кривизны траектории, описываемой в бесконечности точкой О движущейся фигуры. Первое построение этого

центра кривизны (n° 87) выполняется в данном случае как в предельном следующим образом:

Проводим прямую OD (заменяющую GK, n° 87), параллельную МС и пересекающую АВ в точке D, затем прямую перпендикулярную к МС и пересекающую OD в точке N, наконец, прямую , параллельную ОС и пересекающую МС в искомой точке Z.