§ 5. СФЕРИЧЕСКИЙ МАЯТНИК

159. Уравнения движения тяжелой точки по поверхности сферы.

Сферический, или свободный маятник, или также маятник на одной нити (п° 153) представляет собой точку, движущуюся без трения по поверхности сферы. Мы рассмотрим здесь это движение как пример движения точки по поверхности.

Выберем за начало прямоугольных осей центр О сферы и проведем ось Oz вертикально в сторону действия силы тяжести. Пусть — радиус сферы и нормальная реакция сферической поверхности, так что N есть реакция, отнесенная к единице массы. Если предположить, что движущаяся точка М связана с точкой О нитью, то есть реакция нити. Обозначим через N алгебраическое значение реакции N, считая его положительным, если реакция направлена к центру (натяжение), и отрицательным в обратном случае. Направляющие косинусы N тогда будут:

а проекции mN:

Движущаяся точка находится под действием только двух сил: реакции и силы веса, равной поэтому уравнения движения (после сокращения на общий множитель ) будут:

К ним нужно присоединить соотношение:

Таким образом, имеем четыре уравнения для определения четырех неизвестных , и N в зависимости от времени.

Самым простым случаем будет тот, когда начальная скорость лежит в вертикальной плоскости, проходящей через О, например в плоскости . Тогда начальные значения и равны нулю. Первому уравнению удовлетворим, полагая два другие уравнения определят . Движение происходит в вертикальной плоскости, и мы приходим к случаю простого маятника. Мы можем поэтому исключить этот случай, уже рассмотренный выше.

160. Интегралы живых сил и площадей.

Легко получить в рассматриваемом случае два первых интеграла уравнений движения: интегралы живых сил и площадей.

Так как работу производит только сила тяжести, то теорема живой силы даст уравнение

где h есть постоянная живых сил.

С другой стороны, в этом случае применима теорема площадей к горизонтальной плоскости так как вес (параллельный ) и нормальная реакция (пересекающая ) имеют равнодействующую, пересекающую ось . Обозначим через 6 площадь, ометаемую проекцией радиуса-вектора ОМ на плоскость интеграл площадей будет:

где С есть постоянная площадей. Эта постоянная не равна нулю, так как случай простого маятника исключен.

Уравнений (2), (3) и (4) достаточно, в силу исключения N, чтобы найти в зависимости от t; следовательно, эти уравнения определяют движение.

161. Нормальная реакция.

При помощи интеграла (3) живой силы можно показать, что реакция N зависит лишь от и от постоянной h живых сил.

Сложим уравнения (1), умноженные соответственно на принимая во внимание уравнение (2), получим:

где сумма 2 распространяется на три координаты.

С другой стороны, если продифференцировать два раза по t уравнение (2), то получим

Из двух полученных уравнений имеем

Эта формула выражает для нашего частного случая общее правило, данное в конце п° 157. Она показывает, что N не может обратиться в нуль, если положительно, т. е. пока точка движется ниже экватора. Если заменить величину ее значением из уравнения (3), то получим:

Эта формула выражает теорему, высказанную в начале п°.

162. Бесконечно малые колебания сферического маятника.

Прежде чем рассматривать задачу в общем случае, следует изучить случай, когда угол между нитью ОМ и вертикалью остается все время очень малым. Мы будем предполагать этот угол настолько малым, чтобы можно было пренебречь квадратами отношений по сравнению с единицей. При такой степени приближения имеем, в силу уравнения (2),

поэтому, с тою же степенью приближения, N остается постоянной в силу формулы (5). Далее, последнее из уравнений (1), с тем же приближением, можно написать в виде:

Отсюда заключаем, что , так как все время остается близким к и производная не может возрастать неограниченно вместе с t.

Движение проекции точки М на плоскость определяется в этом случае, с тем же приближением, двумя уравнениями:

Это уравнения движения точки, притягиваемой к неподвижному центру О силой, пропорциональной расстоянию и равной по величине , где Общие интегралы этих уравнений будут (п° 136):

Траектория точки есть эллипс.

Возьмем ось в направлении наибольшего радиуса-вектора который будем считать начальным, и пусть начальная скорость (перпендикулярная к радиусу) будет параллельна оси у. При этих начальных данных получим:

Уравнения траектории, которая в этом случае будет отнесена к своим осям симметрии, получат вид:

Продолжительность полного обращения точки по эллипсу будет

Она равна, таким образом, периоду бесконечно малого колебания простого маятника той же длины. Если то движение сферического маятника приводится к движению простого маятника и очень мало отличается от последнего, если скорость мала.

163. Уравнения движения в цилиндрических координатах. Приведение интегрирования к эллиптическим квадратурам.

Пусть — полярные координаты проекции точки М на плоскость Тогда

Уравнения (2), (3) и (4) (уравнение сферы, интеграл живых сил и интеграл площадей) принимают в цилиндрических координатах вид:

Зависимость между получим, исключая из этих трех уравнений. Для этого умножим второе уравнение на что дает

и продифференцируем первое уравнение

исключение из предпоследнего уравнения приводит к

или после приведения подобных членов:

Зависимость между и t принимает, таким образом, вид:

где положено

Обозначим три корня многочлена через — . Мы покажем, что эти три корня действительны; первый отрицателен и меньше а два другие заключены между . Для этого заметим, что так как квадратный корень из действителен, то функция положительна для всех значений , удовлетворяющих задаче, и, в частности, для начального значения (заключенного между ±1). Заметим далее, что получает значения с чередующимися знаками для последовательных значений

В самом деле,

Поэтому имеем:

Так как о должно оставаться положительным, то необходимо, чтобы изменялось между b и с. Следовательно, вертикальная координата точки М колеблется между этими значениями, т. е. точка М совершает

периодические колебания между верхним уровнем b и нижним уровнем с.

Если обратимся к коэффициентам многочлена о в формуле то увидим, что его корни — а, b, с связаны двумя соотношениями:

из первого получаем

Эта формула показывает, что и, следовательно, с положительны (так как а и конечно, положительны). Нижний уровень находится, таким образом, под экватором сферы, но верхний уровень может находиться и над экватором. Вторая формула показывает, что а возрастает неограниченно вместе с h (постоянной живых сил), т. е. вместе с начальной скоростью. Но тогда (знаменатель а) стремится к нулю, и в пределе оба уровня (верхний и нижний) будут находиться по обе стороны от экватора на одинаковых расстояниях от него. В этом случае действительно можно пренебречь силой тяжести и считать, что движение точки совершается по геодезической линии, т. е. по большому кругу сферы.

Вернемся теперь к выражению . На основании сказанного имеем:

Продолжительность Т перехода от с получим, интегрируя значение из уравнения (6). Так как, изменяясь от b до с, z меняется в том же смысле, как t, то радикал нужно взять с знаком таким образом

Пусть O есть проекция радиуса ОМ на горизонтальную плоскость; за промежуток времени радиус

поворачивается на угол который получим из интеграла площадей:

Найдем угол который описывает вокруг вертикали за то время, когда точка М опускается от верхнего уровня b до нижнего уровня с. Он выражается интегралом

То же самое значение получим для угла, описываемого за время перехода от нижнего уровня до верхнего; при этом радикал и одновременно изменяет свои знаки. Задача приводится, таким образом, к квадратурам (9) и (10), но квадратуры эти эллиптические. Чтобы привести решение задачи к более простому виду, найдем приближенное значение интеграла (10).

164. Приближенное значение ...

Найдем приближенное выражение для интеграла (10). Представим сначала этот интеграл в виде:

далее, заменим С его значениями, полученными из формулы (7),

тогда можем написать

Однако

Множитель можно вынести за знак интеграла, заменяя его средним значением где С заключено между и с; таким образом, получаем:

Теперь интеграл приведен к элементарной форме и вычисляется легко. Имеем

так как эти интегралы приводятся соответственно подстановкой к классическому интегралу

Заменяя в правой части значениями, полученными из формулы (8):

найдем

При условии .

Приближенная формула (11) показывает, что всегда больше . Это видно непосредственно, так как следовательно

С другой стороны, она показывает, что если С, положительна, то так как имеет место неравенство

которое доказывается возведением в квадрат. Это условие будет выполнено, если маятник колеблется, оставаясь под уровнем экватора сферы. Итак, если колебания происходят на нижней полусфере, то 0 остается меньше те. Это заключение можно распространить и на случай но соответствующее доказательство было бы более трудным, поэтому мы не будем здесь его рассматривать.

165. Характер колебаний сферического маятника.

Рассмотрим случай, когда колебания происходят на нижней полусфере. Точка М, отправляясь от своего верхнего уровня, опускается до нижнего уровня. В это время горизонтальная проекция ее радиуса-вектора поворачивается вокруг вертикали на угол заключенный между .

Далее точка опять поднимается до своего верхнего уровня, между тем как ее радиус-вектор продолжает поворачиваться на такой же угол. В этот момент точка М не может оказаться ни в своем начальном положении, ни в противоположном положении на том же меридиане. После второй фазы, подобной только что описанной, точка второй раз возвращается к своему начальному уровню, причем проекция ее радиуса-вектора оказывается повернутой на угол 40, заключенный между . Таким образом, точка необходимо должна пройти мимо своего начального положения, и движение, вообще говоря, не будет периодическим или, самое большее, может допускать в качестве периода лишь промежуток, кратный продолжительности только что описанной фазы. Последнее

обстоятельство следует рассматривать как весьма частный случай рассмотренного здесь общего движения или даже как исключение из этого общего случая.

Рассмотрим теперь проекцию траектории на экваториальную плоскость это будет некоторая плоская кривая. Эта кривая не может иметь точек перегиба, если движущаяся точка остается на нижней полусфере. В самом деле, в точке перегиба мы имели бы

откуда

и в силу уравнений движения (1) (п°159):

где С есть постоянная площадей. Следовательно, точка перегиба может быть в случае, если . Но выше мы видели что N не может обратиться в нуль на нижней полусфере. Таким образом, движение проекции точки М на горизонтальную плоскость можно рассматривать как движение точки, описывающей овал, в то время как этот овал сам вращается в своей плоскости в ту же сторону, как движущаяся точка.

166. Частный случай. Конический маятник.

Может случиться, что сферический маятник описывает на сфере окружность, параллельную экватору; он называется тогда коническим маятником. В этом случае оба корня равны друг другу и положительны. Так как многочлен должен иметь двойной корень, то квадратуры (9) и (10) оказываются элементарными. Если предположить значения b и с следовательно, Q бесконечно близкими одно к другому, то значение а становится равным

и формула (11) дает, в качестве предельного значения , величину

Движение конического маятника периодическое, но оно не представляет собою, как это видно, предела движения, стремящегося стать периодическим, так как не стремится ни к ни к .

В движении конического маятника ордината , радиус , скорость v и реакция N являются постоянными величинами. Можно непосредственно получить связывающие их соотношения, если заметить, что горизонтальная и вертикальная проекции N представляют собой соответственно центростремительную силу и силу g, равную и противоположную весу. Таким образом, если А есть угол наклона маятника к вертикали, то будем иметь

откуда, исключая N, получим:

Продолжительность обращения конического маятника равна

Эта величина совпадает с полным периодом бесконечно малого колебания простого маятника длины .