§ 2. ПРИЛОЖЕНИЕ ДВИЖЕНИЕ ТЯЖЕЛОЙ ТОЧКИ В ПУСТОТЕ

117. Движение тяжелой точки в пустоте.

Рассмотрим в качестве приложения уравнений предшествующего параграфа движение тяжелой точки в пустоте. Мы отвлекаемся,

таким образом, от сопротивления воздуха и предполагаем, что точка находится только под действием силы тяжести. Будем рассматривать лишь достаточно малую часть траектории, чтобы можно было считать силу тяжести постоянной по величине и направлению во всей области движения.

Пусть О — начальное положение и — начальная скорость точки. Примем за плоскость вертикальную плоскость, проходящую через начальную скорость, поместим начало координат в точке О и проведем ось вертикально в сторону действия силы тяжести. Точка находится под действием своего веса р = mg, поэтому ускоряющая сила равна g и направлена в положительную сторону по оси у. Уравнения движения будут:

Обозначим через а угол наклона начальной скорости к горизонтали тогда в начале координат при будем иметь:

Интегрируя уравнения (1), получим:

или, определяя постоянные по начальным условиям,

Интегрируя еще раз и замечая, что обращаются в нули при получим:

Таковы конечные уравнения движения. Движение происходит в плоскости ху, т. е. в вертикальной плоскости, проходящей через начальную скорость.

Исключая t из уравнений (2), получим уравнение траектории:

Траектория представляет собой параболу с вертикальной осью, ориентированной в сторону действия силы тяжести.

Найдем точку, в которой траектория вновь, после выхода из начала, пересекает горизонтальную ось Ох. Для этого нужно положить в уравнении что дает

Это расстояние называется дальностью полета (amplitude ). При одном и том же значении начальной скорости дальность наибольшая, если , т. е. для а = 45°. Наибольшая дальность равна

Наибольшая высота, до которой поднимается точка на своей траектории, достигается при равном половине дальности (вследствие симметрии), или при

эта наибольшая высота равна поэтому

При вертикальной начальной скорости (а = 90°) она равна половинз наибольшей дальности, и только четверти дальности, если а = 45°.