§ 7. ОТНОСИТЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ

255. Относительное равновесие. Введение сил инерции переносного движения.

Материальная точка или система находятся в относительном равновесии, если действующие на них активные силы удерживают их в состоянии относительного покоя, т. е. покоя по отношению к подвижной системе отсчета. Так как обыкновенно оси, связанные с Землей, рассматривают в статике как неподвижные, то подвижными осями чаще всего служат оси, которые движутся по определенному закону, относительно Земли.

Как было показано в динамике точки, условия равновесия относительно подвижных осей можно рассматривать так, как если бы оси были неподвижны. Для этого достаточно к силам, которые действовали бы на различные

точки системы в этом последнем случае, прибавить единственную фиктивную силу, силу инерции переносного движения. В самом деле, в случае относительного равновесия сложная центробежная сила равна нулю (п° 168).

Для наблюдателя, который перемещался бы вместе с подвижными осями и производил лишь статические опыты, ничто не отличало бы фиктивную силу от других сил: она обнаруживалась бы теми же опытами и измерялась бы совершенно таким же способом, как и остальные силы. Но для наблюдателя, связанного с другой системой осей, оказывается гораздо проще сохранить силы которые он измеряет в своей системе отсчета, и при изучении равновесия относительно осей, принимаемых им за подвижные, ввести новые силы из динамических соображений.

Следует сделать важное замечание, относящееся к экспериментам на поверхности Земли. Если относить систему х осям, движущимся по отношению к Земле, нужно прибавить силу инерции переносного движения, происходящую от этого относительного движения, ко всем фиктивным силам, которые появляются при движении относительно Земли: к центробежной силе и сложной центробежной силе, происходящим от вращения земного шара. Эта последняя не будет равна нулю в случае равновесия относительно осей, движущихся по отношению к Земле, ибо точка, неподвижная в этих осях, имеет не равную нулю скорость по отношению к Земле.

Но центробежная сила, происходящая от вращения Земли, включается в вес, а сложная центробежная сила в большинстве случаев пренебрежимо мала. Поэтому почти всегда, заменяя притяжение Земли весом, можно рассматривать всякое движение относительно Земли так, как если бы Земля была неподвижна. В таком случае достаточно принимать в расчет лишь силу инерции

переносного движения, происходящую от движения осей по отношению к земному шару.

256. Равномерное вращение системы отсчета.

Если подвижные оси координат вращаются равномерно с угловой скоростью вокруг неподвижной оси, то сила инерции переносного движения, которую нужно приложить к материальной точке, отнесенной к этой системе осей, совпадает, как известно (п° 170), с центробежной силой вращательного движения.

Центробежная сила перпендикулярна к оси вращения и стремится удалить от нее движущуюся точку. Если масса точки есть и ее расстояние от оси вращения , то центробежная сила равна по величине

Элементарная работа этой силы на бесконечно малом перемещении точки, при котором меняется на есть

Следовательно, центробежная сила имеет силовую функцию т. е. является консервативной силой.

Если бы вместо одной материальной точки мы рассматривали систему материальных точек, силовая функция центробежных сил для нее была бы .

257. Относительное равновесие тяжелой точки на поверхности вращения, вращающейся вокруг своей оси. Приложение.

Проведем в вертикальной плоскости горизонтальную ось Ох и ось Оу вертикально вверх (фиг. 40). Построим в плоскости кривую . При вращении вокруг оси Оу эта кривая опишет поверхность вращения, ось которой вертикальна. Предположим, что эта поверхность вращается равномерно с угловой скоростью w вокруг своей оси, и найдем положение

относительного равновесия тяжелой точки М, которая движется по поверхности. Мы можем предположить, что точка перемещается по некоторой заданной кривой, которая сама увлекается вращением поверхности.

Пусть — координаты точки М в положении равновесия, угол, составленный норма к кривой с вертикалью, -нормальная редакция поверхности. Так как массу точки можно принять за единицу, то ее вес есть g, и центробежная сила Первая сила вертикальна, вторая горизонтальна, и их сумма должна уравновесить N; отсюда имеем, в проекциях на оси, два уравнения:

Фиг. 40.

Исключая N, получаем условие равновесия

Рассмотрим два приложения этой формулы Предположим сначала, что образующая кривая есть окружность радиус 1 а, касательная к Ох в начале к ординат (фиг. 40) и расположенная над этой осью. В этом случае следовательно, положение равновесия на окружности определяется формулой

Здесь поверхность вращения есть сфера. Е ли угловая скорость») неограниченно возрастает, о стремится к и положение равновесия приближается к экватору (никогда его не достигая).

В качестве второго примера найдем, какова должна быть образующая кривая, чтобы точка находилась в равновесии при всяком ее положении на этой кривой.

Уравнение равновесия (1) должно удовлетворяться при любом значении . Заменив в через мы получим дифференциальное уравнение искомой кривой

откуда, интегрируя и предполагая начало координат на кривой, будем иметь:

Кривая есть парабола, имеющая ось вращения осью симметрии. Этот результат используется в конструкции центробежных регуляторов.

258. Изменение веса и вертикали с широтой.

Вблизи от поверхности Земли вес есть равнодействующая земного притяжения и центробежной силы, развивающейся при вращении Земли вокруг своей оси.

Мы будем считать Землю шаром, радиус которого приближенно равен 6300 км. Притяжение Земли на единицу массы равно , где М — масса Земли и - постоянная тяготения. Эту силу, направленную к центру Земли, мы будем обозначать через

Земля делает один оборот вокруг своей оси в течение одних звездных суток, т. е. в течение 86164 сек; ее угловая скорость, выраженная в равна поэтому

Центробежная сила, действующая на единицу массы, есть , где через обозначено расстояние точки от земной оси. На широте к на поверхности сферы имеем к, Центробежная сила (перпендикулярная к земной оси и лежащая в плоскости меридиана) имеет поэтому значение:

Численное значение величины (представляющей собой ускорение) равно приблизительно Центробежная сила остается поэтому всегда малой по сравнению с притяжением.

Сила тяжести g есть равнодействующая сил F и . Если обозначим через y острый угол между направлением отвесной линии (совпадающим с направлением g) и плоскостью экватора, то весьма малый угол представляет собой отклонение вертикали, вызванное вращением Земли. Так как проекции g на плоскость экватора и земную ось равны соответствующим проекциям то имеют место равенства

Пусть есть напряжение силы тяжести на экваторе (где X и к равны нулю); на основании первой из предыдущих формул имеем:

и тогда обе формулы могут быть переписаны в виде:

где положено

так что есть весьма малое число (около 0,005), квадратом которого можно пренебречь.

Умножим уравнения (2) соответственно сначала на и сложим, потом на и вычтем первое из второго; таким способом находим следующие два соотношения:

Последнее показывает, что разность очень мала, порядка . Поэтому можем положить с точностью до малых величин второго порядка по отношению к :

и уравнения (3) принимают вид:

Первое из соотношений (4) позволяет определить напряжение силы тяжести на широте А, а второе — отклонение вертикали. Напряжение силы тяжести возрастает вместе с широтою и принимает на полюсе наибольшее значение. Отклонение вертикали наибольшее на широте 45°, где оно несколько меньше 10.

Чтобы получить наилучшее совпадение с опытами, нужно величине в формулах (4) дать значение