§ 4. ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ. ТЕОРЕМЫ ГЮЛЬДЕНА

226. Центр тяжести поверхности вращения.

Рассмотрим поверхность вращения, образованную вращением дуги плоской кривой АВ вокруг оси, лежащей в ее плоскости, примем ось вращения за ось Ох. Центр тяжести, очевидно, лежит на этой оси, являющейся осью симметрии; остается, следовательно, только определить положение центра тяжести на оси.

Проведем ось Оу перпендикулярно к Ох в плоскости кривой. Пусть — абсциссы концов дуги АВ, и

— уравнение кривой.

Пусть — площадь поверхности вращения, — бесконечно малый элемент поверхности с абсциссой Абсцисса искомого центра тяжести определяется общей формулой (п° 216):

Сначала можно просуммировать все элементы имеющие одну и ту же абсциссу и заключенные между двумя плоскостями, перпендикулярными к с абсциссами Эти плоскости вырезают на дуге АВ элемент а сумма рассматриваемых элементов равна поверхности, образованной вращением элемента кривой, имеющего

ординату у. Эта поверхность представляет собой полосу шириной и длиной ее площадь равна поэтому . После этого остается лишь просуммировать по всем элементам и формула приобретает вид:

С другой стороны, площадь равна сумме площадей всех полос:

Применим эти формулы к частному случаю.

227. Сферический пояс.

Сферическим поясом называют часть поверхности сферы, заключенную между двумя параллельными плоскостями. Сферический пояс представляет собой, следовательно, поверхность, образованную вращением, дуги АВ окружности вокруг диаметра . Его площадь и центр тяжести определяются поэтому предыдущими формулами.

Пусть а — радиус, тогда уравнение окружности будет

отсюда

следовательно,

Пусть — абсциссы двух параллельных плоскостей, проведенных через концы А и В образующей дуги пояса;

формулы предыдущего п° принимают вид:

отсюда, разделив эти равенства почленно, получим:

Итак, центр тяжести сферического пояса лежит в середине отрезка, соединяющего центры двух оснований.

228. Теоремы Гюльдена.

Пусть АВ есть дуга плоской кривой, отнесенной к двум прямоугольным осям Ох и Оу. Ордината центра тяжести дуги определяется формулой

где интеграл распространен по дуге АВ.

С другой стороны, площадь поверхности вращения S, образованной той же дугой при ее вращении вокруг Ох, равна

Исключая интеграл, получаем

Отсюда имеем первую теорему Гюльдена:

Площадь поверхности, образованной вращением дуги плоской кривой вокруг прямой, лежащей в ее плоскости, равна произведению длины дуги на длину окружности, описанной ее центром тяжести,

Рассмотрим далее плоскую фигуру с площадью S, отнесенную к двум прямоугольным осям ордината ; ее центра тяжести определяется формулой

где интеграл распространен на все элементы dS площади S.

Предположим, что площадь S заставляют вращаться вокруг оси Ох. Допустим при этом, что площадь S целиком расположена по одну сторону от этой оси. Элемент площади с ординатой у опишет кольцевой бесконечно тонкой объем, измеряемый произведением площади его сечения на его длину .

Объем V тела, образованного вращением всей площади S, выразится интегралом от всех элементарных объемов:

Исключая из двух предыдущих равенств интеграл, получим:

Отсюда имеем вторую теорему Гюльдена:

Объем, образованный вращением плоской фигуры вокруг оси, лежащей в плоскости фигуры вне ее, равен произведению площади фигуры S на длину окружности, описанной ее центром тяжести.

229. Поверхность и объем тора.

Теоремы Гюльдена позволяют непосредственно определить поверхность и объем тора.

Тор есть кольцевая фигура, образованная вращением круга радиуса а вокруг прямой, расположенной в плоскости круга на расстоянии от его центра. Геометрический центр круга есть в то же время его центр тяжести; при вращении вокруг оси он опишет окружность

длиной Длина окружности и площадь образующего круга равны соответственно

Площадь поверхности тора равна поэтому, на основании первой теоремы Гюльдена:

объем тора, в силу второй теоремы Гюльдена, равен: