ГЛАВА XI. ТРЕНИЕ

§ 1. ТРЕНИЕ СКОЛЬЖЕНИЯ

259. Трение.

В теоретической механике твердые тела рассматривают как абсолютно неизменяемые, а их поверхности как совершенно гладкие, так что реакции, которые они оказывают друг на друга, нормальны к поверхностям тел в точке их касания. Это именно мы предполагали до сих пор. Опыт, однако, показывает, что этот чисто теоретический случай является предельным и в действительности никогда не достигается. Например, пусть некоторое тяжелое тело опирается своей плоской поверхностью на горизонтальную плоскость. Как мы знаем, горизонтальная сила, достаточная для того, чтобы заставить тело скользить по этой плоскости, вместо того чтобы быть сколь угодно малой, должна стать больше некоторого значения. Итак, когда два твердых тела опираются одно на другое, в точках касания тел развивается, кроме допущенной выше нормальной реакции, касательная реакция, которая оказывает влияние на равновесие или движение тела и называется трением.

Эта реакция зависит лишь от относительных положений и движений обоих тел; мы можем поэтому предполагать, что одно из этих тел неподвижно. Если это допустить, то опыт показывает, что трение не следует одним и тем же законам в случаях, когда другое тело находится в покое или в движении. Кроме того, в случае движения необходимо отличать трение скольжения, которое появляется, когда две поверхности, находящиеся в соприкосновении, скользят одна по другой, от трения качения и трения верчения, которые возникают, когда

движущаяся поверхность катится и вертится по неподвижной поверхности.

Рассмотрим эти различные случаи, начиная с законов трения скольжения.

260. Статическое трение.

Пусть твердое тело, находящееся под действием данных сил, опирается на неподвижную поверхность, так что вызывает постоянную нормальную реакцию этой последней. Если, кроме того, сила, действующая тангенциально к поверхности, стремится заставить тело скользить по ней, возникает касательная реакция поверхности, прямо противоположная силе. Эта реакция препятствует скольжению тела и возрастает вместе с касательной активной силой до предельного максимума, после чего начинается скольжение. Наибольшую касательную реакцию Т называют трением при начале движения (froitement au dipart ). На основании опытов Кулона и Морена, трение при начале движения подчиняется приближенно следующим законам:

1°. Трение при начале движения зависит от состояния поверхностей, находящихся в соприкосновении, но не зависит от размеров этих поверхностей.

2°. Оно пропорционально нормальной составляющей давления тела на поверхность, или, что то же самое, нормальной составляющей реакции.

Постоянное отношение трения Т к нормальной составляющей N реакции называется коэффициентом трения, т. е.

Коэффициент трения, представляющий собой отношение двух сил, есть поэтому число отвлеченное (не зависящее от выбора единиц).

Рассмотрим твердое тело, опирающееся на поверхность. Так как величина площади касания не оказывает влияния на силу трения, мы можем привести движущуюся поверхность

к точке М. Пусть Р есть сила, приложенная к точке М, N — ее нормальная составляющая и Т — касательная составляющая, так что N прямо противоположна нормальной реакции N, и Т прямо противоположна силе трения Точка М останется в покое, пока Т меньше трения при начале движения, т. е. пока

Обозначим через угол между силой Р и нормалью к поверхности, тогда

Если ввести угол с помощью равенства

то условие того, чтобы точка М оставалась неподвижной на поверхности, примет вид:

следовательно, угол между силой Р и нормалью к поверхности должен быть меньше угла определенного формулой (1) к называемого углем трения. Наоборот, движение начнется, как только угол между силой Р и нормалью к поверхности станет больше угла трения.

Отсюда следует, что поверхность в состоянии развить всякую реакцию R, лишь бы толкьо линия ее действия проходила внутри кругового конуса, ось которого нормальна к поверхности и образующие которого наклонены к этой нормали под углом Этот конус, вершима которого находится в точке М, называется конусом трения.

261. Динамическое трение.

Если поверхности, находясь в соприкосновении, скользят друг по другу, то между ними все время действуют тангенциальные реакции, которые называют силами динамического трения. Законы динамического трения следующие:

1°. Динамическое трение прямо противоположно относительной скорости тела.

2°. Оно, как и трение статическое, не зависит от площади соприкосновения поверхностей и прямо пропорционально нормальному давлению, производимому телом на поверхность.

3°. Оно не зависит в заметной степени от скорости.

4°. Оно зависит тесным образом от природы поверхностей, находящихся в соприкосновении, от их материала, их твердости, степени полировки и т. д. Но для одних и тех же поверхностей коэффициент динамического трения заметно меньше коэффициента трения при начале движения.

262. Преимущества и неудобства, создаваемые трением.

Влияние трения может быгь как полезным, так и вредным. В статическом состоянии трение чаще всего оказывается для нас полезным, так как оно увеличивает устойчивость и позволяет осуществить равновесие в тех случаях, когда без трения оно было бы невозможно. Но трение может быть полезным также и с динамической точки зрения; благодаря ему локомотив может привести в движение состав, и благодаря трению же оказывается возможным торможение. В движущихся машинах трение, вообще говоря, оказывается вредным не только потому, что оно является причиной изнашивания, но также и потому, что оно поглощает часть работы, производимой движущими силами. Поэтому в машинах следует сводить его к минимуму, улучшая качество поверхностей, находящихся в соприкосновении, так как свойства этих поверхностей оказывают значительное влияние на величину коэффициента трения.

Самым эффективным средством для уменьшения трения является смазка при помощи масла или другого смазочного материала. Смазка заменяет сухое трение тел, находящихся в соприкосновении, жидким трением, при котором тела скользят по слою смазки.

Следующая таблица показывает, что: 1° существует значительная разница между трением при начале движения и динамическим трением и 2° коэффициент трения

между различными материалами уменьшается при употреблении смазки.

Мы рассмотрим теперь решение некоторых задач статики, при которых приходится учитывать трение скольжения.

263. Равновесие с трением твердого тела, опирающегося на плоскость.

Рассмотрим твердое тело, находящееся под действием одной силы F и опирающееся на неподвижную плоскость в нескольких точках, не лежащих на одной прямой. Необходимыми и достаточными условиями равновесия тела в этом случае будут следующие: 1° сила должна быть ориентирована так, чтобы она прижимала тело к плоскости; 2° она должна составлять с нормалью к плоскости угол, меньший угла трения; 3° линия действия силы должна пересекать плоскость внутри опорного многоугольника.

Эти условия необходимы: первое — для того, чтобы сила F могла быть уравновешена реакциями плоскости (которые действуют лишь в одну сторону); второе — чтобы не было скрльжения; третье — чтобы мог обратиться

в нуль результирующий момент реакций относительно той точки, в которой линия действия F пересекает плоскость.

Они и достаточны, так как если они имеют место, то силу F можно разложить на параллельные и одинаково ориентированные силы, приложенные в вершинах опорного многоугольника, так что они уравновешены сопротивлением неподвижной плоскости.

Если тело опирается на плоскость своей плоской гранью, то условия равновесия будут те же, за исключением того, что опорный многоугольник будет заменен выпуклой линией (опорной линией), представляющей собою границу площади соприкосновения.

Устойчивость равновесия может в этом случае рассматриваться с двух точек зрения. Равновесие нарушается или при опрокидывании тела, или при его скольжении по плоскости. Против первой возможности мы будем гарантированы тем больше, чем дальше от краев опорного многоугольника сила F пересекает плоскость; против второй — чем меньше будет угол между силой F и нормалью к плоскости по сравнению с критическим углом (с углом трения).

264. Наклонная плоскость.

Предыдущие рассуждения можно применить к тяжелому телу веса Р, на которое, кроме веса, действует сила F, приложенная к его центру тяжести. Пусть тело опирается на наклонную плоскость, составляющую с горизонтом угол а. Условия равновесия будут следующие: 1° равнодействующая , приложенная к центру тяжести, должна быть ориентирована так, чтобы она прижимала тело к плоскости; 2° она должна пересекать эту плоскость внутри опорного многоугольника; 3° она должна составлять с нормалью к плоскости угол, меньший угла трения.

Рассмотрим, в частности, тот случай, когда тело находится только под действием своего веса, так что первое условие всегда выполняется. Условия равновесия заключаются тогда в том, что центр тяжести должен лежать на вертикали,

пересекающей опорный многоугольник, и угол а плоскости с горизонтом должен быть меньше угла трения. Устойчивость будет тем больше, чем меньше будет угол а, что очевидно без доказательства.

265. Равновесие лестницы.

Рассмотрим условия равновесия лестницы, опирающейся своими концами на горизонтальный пол и вертикальную стену, ось которой лежит в вертикальной плоскости, перпендикулярной к стене.

Фиг. 41.

Заметим сначала, что равновесие было бы невозможно, если бы не было трения лестницы о пол. В самом деле, прямо приложенными силами являются собственный вес лестницы и дополнительный вес человека или нескольких человек, которые по ней поднимаются; эти силы имеют вертикальную равнодействующую Р, приложенную в некоторой точке лестницы. Если бы реакция пола была вертикальна, она вместе с равнодействующей Р приводилась бы или к одной вертикальной силе, или к паре. Ни в одном из этих случаев горизонтальная или наклонная реакция стены не могла бы их уравновесить.

Проведем через ось лестницы вертикальную плоскость, пересекающую пол по оси Ох и стену по оси Оу. Пусть А есть точка опоры лестницы о пол и В — точка опоры ее о стену (фиг. 41). Восставим из этих точек соответственно перпендикуляры АС и ВС к полу и стене. Проведем потом через эти же точки наклонные АС и ВС, ссставляющие с проведенными нормалями в прямом направлении (от Ох к Оу) соответственно углы являющиеся

углами трения для пола и стены. Точка С, определенная таким образом, зависит лишь от положения лестницы, но не от грузов, которые она поддерживает. Докажем следующую теорему:

Лестница будет или не будет находиться в равновесии, смотря по тому, расположена точка С со стороны стены или с противоположной стороны от линии действия равнодействующей Р веса лестницы и грузов, которые она поддерживает.

Действительно, чтобы равновесие имело место, необходимо, чтобы сила Р могла быть разложена на две силы, приложенные в точках А и В и составляющие с нормалями АС и ВС углы, меньше соответствующих углов трения; причем эти углы должны быть отложены от нормалей в сторону положительного вращения. Тогда эти две составляющие пересекутся в точке С" (на линии действия Р) справа от точки С (фиг. 41), и точка С будет лежать со стороны стены от линии действия Р.

С другой стороны, чтобы равновесие не могло иметь места, необходимо, чтоэы сила Р раскладывалась на две составляющие, приложенные в точках А и В и образующие с нормалями АС и ВС углы, ббльшие углов трения и отложенные от нормалей попрежнему в сторону прямого вращения. Эти две составляющие пересекаются тогда в точке С" (на линии действия Р) слева от С, и С находится от линии действия Я со стороны, противоположной стене.

Так как условия, необходимые в каждом из этих двух случаев, исключают одно другое, то они также и достаточны.

Если угол наклона лестницы к вертикали меньше угла САС, т. е. угла трения по отношению к полу, то точка С окажется по другую сторону от вертикальной стены, и равновесие будет иметь место, как бы ни была расположена линия действия равнодействующей Р, т. е. каковы бы ни были положение и величина грузов, поддерживаемых лестницей. Это — единственное условие, при котором равновесие соединено с полной практической безопасностью.

Если угол наклона лестницы к вертикали превосходит угол трения по отношению к полу, то точка С оказывается с той же стороны от стены, как и сила Я; в этом случае на верхний конец лестницы всегда можно положить такой груз, который будет достаточен, чтобы сделать расстояние линии действия силы Р до стены меньше, чем расстояние точки С до стены, и этим заставить лестницу соскользнуть вниз. При этих условиях опасно полагаться на равновесие лестницы.