§ 10. ДВИЖЕНИЕ ПЛАНЕТЫ ВОКРУГ СОЛНЦА

140. Уравнения движения. Интегралы площадей и живой силы.

Пусть требуется определить движение точки Р (планета), притягиваемой к неподвижному центру F (Солнце) силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния.

Так. как сила центральная, то траектория будет плоской, и плоскость ее будет содержать центр F. Рассмотрим систему полярных координат в этой плоскости с полюсом в центре F. Пусть г — радиус-вектор — угол, образуемый им с полярной осью Fx. Требуется определить как функции от t, для чего необходимы два уравнения. Эти уравнения даются интегралом площадей и интегралом живой силы.

Пусть С есть постоянная площадей; тогда интеграл площадей запишется;

Найдем теперь интеграл живой силы.

Пусть будет ускоряющаяся сила (т. е. сила, отнесенная к единице массы) для точки Р; мы можем положить

где — есть коэффициент пропорциональности, один и тот же для всех планет, этот коэффициент положителен, так как сила притягивающая. Тогда сила, действующая на точку, равна

Элементарная работа этой силы будет (п° 131)

Поэтому силовая функция равна и интеграл живой силы принимает вид:

Это уравнение можно написать в следующей форме:

(2)

где постоянная живых сил, имеющая значение

141. Определение траектории.

Для определения движения нужно проинтегрировать уравнения (1) и (2). Мы начнем с определения траектории точки Р. Для этого нужно из уравнений (1) и (2) исключить . Заменяя в уравнении через

и деля почленно на равенство (1), возведенное в квадрат, получим:

Это уравнение представляет собой дифференциальное уравнение траектории. Оно может быть написано в виде:

Левая часть положительна, поэтому правая часть тоже должна быть положительна, и мы можем вместо ввести новую переменную , определяемую соотношением

Будем считать радикал в правой части положительным, тогда может иметь любой знак. Дифференциальное уравнение после этого приведется к виду:

Отсюда:

Заменяя этим значением в написанном выше соотношении, получим уравнение трбектории в полярных координатах:

Это — фокальное уравнение конического сечения. Таким образом, траектория есть коническое сечение, в одном из фокусов которого находится центр притяжения F. В этом заключается первый закон Кеплера.

142. Определение параметров траектории.

Посмотрим, как параметры получившегося конического сечения, в частности его параметр и эксцентриситет , связаны с начальными данными движения. Сравним для этого уравнение (4) траектории с фокальным уравнением, в которое эти параметры конического сечения входят в явном виде:

из сравнения заключаем:

отсюда

Выражение для эксцентриситета позволяет определить вид конического сечения; мы имеем эллипс, параболу или гиперболу, смотря по тому, будет ли Таким образом, вид конического сечения зависит лишь от знака постоянной живых сил h: оно представляет собой эллипс, если параболу, — если и гиперболу, — если

Постоянная h, определяемая уравнением (3), зависит от начального положения и от величины начальной скорости, но не от ее направления, так как . Поэтому вид конического сечения зависит лишь от точки отправления и от абсолютной величины начальной скорости планеты.

Ограничимся теперь случаем эллиптической траектории и определим ее большую ось. Из теории конических сечений имеем:

поэтому на основании формул (5) и (6)

откуда

Это соотношение показывает, что длина большой оси эллиптической орбиты зависит лишь от постоянной h живых сил, следовательно, она зависит лишь от начального положения планеты и от абсолютной величины начальной скорости.

Из уравнений (6) и (7), исключая h, получим

143. Выражения ... в функциях от эксцентрической аномалии.

Положение планеты на ее траектории зависит от времени в соответствии с теоремой площадей. Мы рассмотрим здесь задачу определения этого положения только для эллиптического движения.

Фиг. 28.

Предварительно следует решить чисто геометрическую задачу: выразить координаты и площадь 5 фокального сектора эллипса в функциях от эксцентрической аномалии. Дадим сначала определение эксцентрической аномалии.

Рассмотрим эллипс, отнесенный к своим осям:

Построим окружность на большой оси как на диаметре (фиг. 28) и возьмем точку М на этой окружности, имеющую ту же самую абсциссу как точка Р эллипса, и лежащую с той же стороны от большой оси. Центральный угол АОМ называют эксцентрической аномалией точки Р и обозначают его через и. Эксцентрическая аномалия изменяется от 0 до , когда точка Р описывает

эллипс, а точка М в то же самое время описывает окружность.

Пусть — полярные координаты точки Р, полюс которых совпадает с фокусом эллипса. Выразим сначала эти две координаты как функции от и. Непосредственно имеем и, и далее, на основании свойств эллипса,

(9)

С другой стороны, обращаясь к фигуре 28, получим:

откуда

Из этих формул получим:

Формулы (9) и (10) выражают в зависимости от эксцентрической аномалии и. Перейдем теперь к вычислению отсчитываемой от большой оси площади 5 фокального сектора эллипса, т. е. сектора AFP (на фиг. 28), имеющего свою вершину в фокусе F, ближайшем к точке А. Дифференцируя формулу (10), получим

Так как

то

Подставляя это значение и значение из формулы (9) в выражение площади элементарного сектора получим:

отсюда, интегрируя от будем иметь:

Таково искомое выражение площади фокального сектора в зависимости от эксцентрической аномалии.

144. Выражение времени движения как функции от эксцентрической аномалии.

Мы можем теперь возвратиться к движению планеты. Два ее положения на концах большой оси являются соответственно самым близким и самым удаленным от Солнца, т. е. от фокуса F. Им дают название перигелия и афелия. Условимся отсчитывать время того момента, когда планета находится в перигелии А (фиг. 28).

Теорема площадей дает:

отсюда, интегрируя от t = 0 и определяя S, как в предшествующих вычислениях, получим:

Заменим его значением, полученным выше, и постоянную значением из (5); тогда будет

(11)

Такова зависимость между t и эксцентрической аномалией. Теперь величины , b и t явно выражены как функции от параметра и формулами (9), (10) и (11), и задача интегрирования решена, правда, в параметрической форме.

Продолжительность Т обращения планеты получим, полагая в формуле (11)

Таким образом, квадраты времен обращения относятся, как кубы больших осей орбит. Это — последний из законов Кеплера. Заметим, что продолжительность обращения зависит лишь от большой оси орбиты, а следовательно, лишь от начального положения планеты и от величины начальной скорости, но не от ее направления.

Чтобы покончить с этим вопросом, остается найти явные выражения в зависимости от t. Для этого нужно было бы найти выражение и через t из уравнения (11) и подставить его в формулы и (10). Но уравнение (11) трансцендентное, и решение его можно получить лишь приближенными способами. Рассмотрение этого вопроса скорее относится к небесной механике, поэтому мы оставим его в стороне.