§ 4. ПРИВЕДЕНИЕ СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ОПЕРАЦИИ

24. Определение приведения. Приведение к одному вектору и одной паре.

Привести систему векторов, значит заменить данную систему другой системой, более простой и эквивалентной первой.

Выберем произвольно точку О и назовем ее центром приведения. Произвольную систему векторов S можно привести к одному вектору, приложенному к точке О, и к одной паре: этот вектор равен главному вектору R системы, а осевой момент пары равен главному моменту G системы относительно точки О.

В самом деле, система, составленная из указанных вектора и пары, имеет в точке О те же самые главный вектор R и главный момент G, как и система S: она эквивалентна, таким образом, системе 6.

Вектор R не зависит от центра приведения, но момент G пары меняется с изменением центра приведения и притом таким же образом, как главный момент системы (п°15).

Для точек центральной оси системы 6 главный момент G имеет наименьшую величину и параллелен главному вектору R. Поэтому, если взять за центр приведения точку на центральной оси, то осевой момент результирующей нары получит наименьшую величину и будет параллелен главному вектору.

Пара, соответствующая центру приведения О, называется часто парой переноса, так как приведение системы также может быть выполнено при помощи правила п° 23. Клждый вектор системы можно перенести в точку О,

если при этом присоединить соответствующую пару переноса. После этого все векторы, приложенные в точке О, могут быть заменены их результирующей R (п°18), а все пары приводятся к одной паре переноса по закону сложения пар (п°22). Этот способ приведения принадлежит Пуансо.

Если вектор R равен нулю, то система приводится к одной паре. Если, кроме того, момент G также равен нулю, то система эквивалентна нулю.

25. Система, эквивалентная одной результирующей.

Когда главный вектор R системы не равен нулю, то главный момент принимает свое наименьшее значение во всех точках центральной оси, представляющей собой определенную прямую, параллельную R (п°17). Если этот наименьший момент равен нулю, то система приводится к единственному вектору R при условии, что центр приведения взят на центральной оси. В этом случае говорят, что система допускает одну результирующую, или равнодействующую. Вектор R, приложенный в точках центральной оси, представляет собой результирующую системы S, эквивалентную всей системе.

Чтобы наименьший момент был равен нулю, необходимо и достаточно, чтобы главный момент G был перпендикулярен к главному вектору R для произвольного центра приведения (п°17).

Чтобы выразить это условие в аналитической форме, за центр приведения берут начало координат; тогда имеем известное соотношение:

26. Приведение системы к двум векторам.

Система векторов может быть приведена бесконечным множеством способов к двум векторам, один из которых проходит через произвольно данную точку.

Пусть О — данная точка. Выберем ее за центр приведения. Тогда система приводится к вектору R, приложенному

в О, и к паре с осевым моментом G. Проведем через О плоскость, перпендикулярную к G, и выберем произвольно в этой плоскости точку О. Пару G можно представить двумя подходящими векторами Q и Q, приложенными в точках (п°21). Векторы R и Q пригодятся к их результирующей приложенной в О, после чего остается еще вектор Q, приложенный в О.

27. Теорема.

Система векторов эквивалентна нулю. если равны нулю ее главные моменты относительно трех точек А, В и С, не лежащих на одной прямой.

В самом деле, возьмем точку А за центр приведения; система приводится к своему главному вектору R, приложенному в Л, и к паре с осевым моментом G. Главный момент системы относительно А равен в, но, по условию, G равен нулю. Следовательно, главные моменты относительно точек В и С приводятся к моментам относительно этих точек вектора R. Эти последние моменты равны нулю по условию, поэтому R тоже должен быть равен нулю, ибо в противном случае вектор R, приложенный в точке А, должен был бы проходить одновременно через точки В к С, что противоречит условию.

Следствие. — Система векторов эквивалентна нулю, если равны нулю ее главные моменты относительно шести ребер тетраэдра.

Действительно, главный момент системы относительно каждой из четырех вершин тетраэдра должен быть равен нулю, так как его проекции на три ребра, сходящиеся в этой вершине, равны нулю. Этот случай приводится, таким образом, к предыдущему.

Вспомним, что условие эквивалентности двух систем S и S заключается в том, что система образованная из векторов системы 5 и векторов системы S, взятых с обратными знаками, должна быть эквивалентна нулю; мы можем поэтому высказать следующую теорему, равносильную двум предшествующим:

Теорема. — Две системы векторов эквивалентны, если они имеют соответственно равные главные

моменты относительно трех точек, не лежащих на одной прямой, или относительно шести ребер произвольного тетраэдра.

28. Элементарные операции.

Будем называть элементарными операциями следующие три операции:

1°. Приведение нескольких сходящихся векторов к их результирующему вектору и разложение вектора на его составляющие.

2°. Присоединение или отбрасывание двух векторов, гавных между собой и прямо противоположных.

3°. Перенесение вектора в произвольную точку его линии действия (скольжение вектора).

Третья операция сводится к двукратному применению второй. Она не имеет поэтому самостоятельного значения и могла бы быть исключена из общего числа элементарных операций.

Мы уже видели, что эти операции допустимы с точки зрения эквивалентности, т. е. что они преобразуют систему в другую, эквивалентную ей (п°18 и 23). Мы установим теперь, что имеет место обратное: две эквивалентные системы могут быть приведены одна к другой последовательным применением одних только элементарных операций. С этой целью мы докажем следующую предварительную теорему:

Теорема. — Система, эквивалентная нулю, может быть приведена к нулю при помощи элементарных операций.

Пусть S есть система, эквивалентная нулю. Проведем плоскость, не содержащую точек приложения векторов системы (что, очевидно, возможно), и возьмем в этой плоскости три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой. Приведем сначала систему к трем векторам, приложенным соответственно в этих трех точках.

Вектор системы, приложенный в точке О, может быть заменен тремя его составляющими, по осям О А, ОВ и ОС, не лежащим в одной плоскости. Далее, можно

переместить эти составляющие вдоль осей до точек А, В, С.

В результате вектор V заменен тремя векторами, приложенными соответственно в точках А, В и С. Так поступают со всеми векторами системы 5. После того как это сделано, складывают отдельно векторы, приложенные в каждой из трех точек. Итак, первоначальная система оказывается приведенной к трем векторам Р, Q, R, приложенным соответственно в точках А, В и С, причем она попрежнему эквивалентна нулю.

Вектор R (если он не равен нулю) лежит в плоскости А, В и С, так как главный момент системы относительно прямой АВ должен быть равен нулю. В самом деле, этот момент приводится к моменту вектора R, и из равенства его нулю необходимо следует, что R действительно лежит в одной плоскости с прямой АВ. Поэтому R можно разложить на две составляющие но направлениям СА и СВ и переместить их в точки А и В, чтобы сложить затем соответственно с векторами Р и Q. В результате останутся два вектора, приложенные в точках А и В и образующие попрежнему систему, эквивалентную нулю; эти векторы должны быть, следовательно, равны и прямо противоположны (п° 19). Их можно отбросить, применяя вторую элементарную операцию. Система, таким образом, оказывается приведенной к нулю.

Приведение двух эквивалентных систем друг к другу. - Две эквивалентные системы S и S всегда могут быть приведены одна к другой при помощи элементарных операций.

Чтобы выполнить это преобразование, присоединим к все векторы систем S и —S (обозначая через —S систему векторов, прямо противоположных векторам системы S). При этом нам придется лишь несколько раз применить вторую из элементарных операций. Совокупность векторов S и —S эквивалентна нулю (п°20); поэтому ее можно привести к нулю при помощи элементарных операций. В результате остается только система S, и требуемое приведение, таким образом, выполнено.