Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 4. НЕПРЕРЫВНОЕ ДВИЖЕНИЕ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ В ЕЕ ПЛОСКОСТИ68. Предварительные соображения.Движение плоской фигуры неизменяемой формы в ее плоскости есть частный случай движения твердого тела в пространстве. Поэтому в непосредственном изучении такого движения нет необходимости, однако сделать это все же весьма полезно. Для этого нужно применить общие соображения предшествующего параграфа к этому частному случаю. Положение плоской фигуры в ее плоскости определяется положением двух ее точек, и состояние скоростей всех ее точек в определенный момент (т. е. мгновенное движение фигуры) определяется скоростями только двух точек А и В. Если известны эти последние, то можно построить скорости всех прочих точек фигуры. В самом деле, скорость точки С фигуры определяется ее проекциями, в данном случае известными, на две прямые АС и ВС. Если в какой-нибудь момент t скорость точки С движущейся фигуры равна нулю, то мгновенное движение фигуры есть вращение ее вокруг этой точки. В самом деле, скорость какой-нибудь второй точки А фигуры перпендикулярна к СА. Эту скорость можно получить вращением фигуры вокруг точки С. Так как при помощи этого вращения мы получаем скорости двух точек фигуры, то оно же даст и скорости всех других ее точек. 69. Мгновенное движение плоской фигуры в ее плоскости.Плоская фигура, движущаяся в своей плоскости, совершает в каждый момент или мгновенное поступательное движение, или мгновенное вращение.
Фиг. 10. Пусть А есть точка движущейся фигуры. Если скорость ее равна нулю, то, как мы только что видели, фигура совершает мгновенное вращение вокруг точки А. В противоположном случае пусть v есть скорость точки А и пусть В — вторая точка движущейся фигуры, лежащая на векторе v (фиг. 10). Если скорость v точки В параллельна V, то эти две скорости должны быть геометрически равны, так как каждая из них представляет скорость скольжения прямой АВ. Две точки фигуры имеют такие же скорости, как в поступательном движении со скоростью v, а потому мгновенное движение фигуры совпадает в рассматриваемый момент с этим поступательным движением. Если же скорость v не параллельна скорости и v, будут иметь скольжения, равные нулю; они пересекаются в точке С, скорость которой, следовательно, должна быть равна нулю. В этом случае движение фигуры есть мгновенное вращение вокруг точки С и сама точка С есть мгновенный центр вращения. Мгновенный центр находится поэтому в точке пересечения прямых, проведенных из каждой точки движущейся фигуры перпендикулярно к скорости этой точки. Проекции на две прямоугольные оси скорости точки М с координатами
Если мгновенный центр находится в точке с координатами
Эти формулы представляют собой частный случай формул п° 55, из которых они могут быть выведены, если положить 70. Непрерывное движение плоской фигуры в ее плоскости.Рассмотрим движение плоской фигуры в течение промежутка времени поступательным движением. В таком случае в каждый момент существует мгновенный центр вращения С. Если точка С неподвижна на плоскости, движение фигуры есть непрерывное вращение вокруг этой точки. В самом деле, каждая точка М движущейся фигуры описывает окружность вокруг точки С, так. как траектория точки во все время движения остается нормальной к радиусу МС. В этом случае точка С занимает также неизменное положение в движущейся фигуре. Обратно, если мгновенный центр занимает неизменное положение в движущейся фигуре, то эта точка фигуры имеет скорость, постоянно равную нулю, и, следовательно, она неизменно связана также с неподвижной плоскостью; движение фигуры представляет собой, таким образом, непрерывное вращение вокруг неподвижной точки.
Фиг. 11. Предположим теперь, что мгновенный центр С непрерывно перемещается в плоскости и в движущейся фигуре. Рассмотрим его абсолютное движение на неподвижней плоскости и его относительное движение на движущейся фигуре, принимаемой в качестве подвижной системы отсчетя. Мгновенный центр, перемещаясь, описывает кривую в неподвижной плоскости, представляющую его абсолютную траекторию, и некоторую другую кривую на движущейся фигуре, представляющую его относительную траекторию. Абсолютная траектория есть кривая относительная и абсолютная скорости совпадают по величине и направлению. В самом деле, их разность представляет собой переносную скорость мгновенного центра, т. е. скорость, которую имела бы точка С, если бы она была связана с движущейся фигурой. Но эта скорость равна нулю, так как С есть мгновенный центр вращения фигуры. Отсюда получаем следующие два заключения: 1°. Две кривые 2°. При движении фигуры в ее плоскости мгновенный центр описывает дуги одинаковой длины на обеих кривых
Поэтому обе дуги могут отличаться друг от друга лишь на постоянную величину. Так как в начальный момент обе дуги обращаются в нуль, то они равны между собой в каждый последующий момент. Оба указанных свойства характеризуют качение без скольжения движущейся центроиды по неподвижной. Они дают очень наглядное представление самого общего непрерывного движения плоской фигуры в ее плоскости, которое не приводится к непрерывному вращению и ни в какой момент не вырождается в мгновенное поступательное движение. Таким образом, можно высказать следующую теорему: Самое общее непрерывное движение плоской фигуры в ее плоскости можно осуществить, заставляя катиться по неподвижной кривой другую кривую, которая неизменно связана с движущейся фигурой и увлекает ее в своем движении. Точка касания обеих кривых в каждый момент времени представляет собой мгновенный центр вращения. Неподвижная кривая есть геометрическое место мгновенных центров на неподвижной плоскости (неподвижная центроида), подвижная кривая есть геометрическое место мгновенных центров на движущейся фигуре (подвижная центроида). 71. Приложение к построению нормалей к кривым.Если известно положение мгновенного центра при движении плоской фигуры в ее плоскости, то можно построить нормаль к траектории любой точки фигуры, так как эта нормаль проходит через мгновенный центр. Поэтому если данная кривая может быть описана точкой плоской фигуры в таком ее движении, для которого можно определить мгновенный центр вращения, то мы получаем способ построения нормали к этой кривой. Рассмотрим несколько примеров. Самым простым является случай, когда кривая представляет собой рулетту, т. е. когда кривая может быть определена как траектория точки, связанной с движущейся линией, которая катится по неподвижной кривой. В этом случае положение мгновенного центра (точки касания двух последних кривых) известно заранее. Например, циклоида есть рулетта, описываемая точкой окружности, которая катится по прямой; нормаль к циклоиде получим, соединяя движущуюся точку с точкою касания движущейся окружности и неподвижной прямой. Второй простой пример представляет тот случай, когда две точки А и В движущейся фигуры вынуждены описывать заданные траектории. Нормали к этим траекториям, проведенные для каждого момента через точки Л и В, определяют своим пересечением мгновенный центр, соответствующий этому моменту. Например, эллипс описывается точкой М отрезка прямой АВ, концы которого скользят по двум осям Ох (фиг. 12). Мгновенный центр определяется пересечением нормалей АС и ВС к осям, а нормаль к эллипсу в точке М есть МС. Для рассматриваемого движения прямой АВ легко получить подвижную и неподвижную центроиды. В самом деле, угол АСВ (равный углу АОВ или дополнительный для него) остается постоянным; построим на отрезке АВ сегмент, вмещающий угол Эта окружность, связанная с отрезком АЗ, есть геометрическое место мгновенных центров С на движущийся фигуре, или подвижная центроида.
Фиг. 12. С другой стороны, ОС есть отрезок постоянной длины, так как это — диаметр указанной окружности. Поэтому геометрическим местом точек С на плоскости, или неподвижной центроидой будет служить окружность радиуса ОС с центром О. Таким образом, движение отрезка АВ по его направляющим можно осуществить, если заставить катиться внутренним образом окружность по неподвижной окружности вдвое большего радиуса. Эллипс, описываемый при этом точкой движущегося круга, входит в класс так называемых гипоциклоид.
|
1 |
Оглавление
|