§ 4. НЕПРЕРЫВНОЕ ДВИЖЕНИЕ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ В ЕЕ ПЛОСКОСТИ

68. Предварительные соображения.

Движение плоской фигуры неизменяемой формы в ее плоскости есть частный случай движения твердого тела в пространстве. Поэтому в непосредственном изучении такого движения нет необходимости, однако сделать это все же весьма полезно. Для этого нужно применить общие соображения предшествующего параграфа к этому частному случаю.

Положение плоской фигуры в ее плоскости определяется положением двух ее точек, и состояние скоростей всех ее точек в определенный момент (т. е. мгновенное движение

фигуры) определяется скоростями только двух точек А и В. Если известны эти последние, то можно построить скорости всех прочих точек фигуры. В самом деле, скорость точки С фигуры определяется ее проекциями, в данном случае известными, на две прямые АС и ВС.

Если в какой-нибудь момент t скорость точки С движущейся фигуры равна нулю, то мгновенное движение фигуры есть вращение ее вокруг этой точки. В самом деле, скорость какой-нибудь второй точки А фигуры перпендикулярна к СА. Эту скорость можно получить вращением фигуры вокруг точки С. Так как при помощи этого вращения мы получаем скорости двух точек фигуры, то оно же даст и скорости всех других ее точек.

69. Мгновенное движение плоской фигуры в ее плоскости.

Плоская фигура, движущаяся в своей плоскости, совершает в каждый момент или мгновенное поступательное движение, или мгновенное вращение.

Фиг. 10.

Пусть А есть точка движущейся фигуры. Если скорость ее равна нулю, то, как мы только что видели, фигура совершает мгновенное вращение вокруг точки А. В противоположном случае пусть v есть скорость точки А и пусть В — вторая точка движущейся фигуры, лежащая на векторе v (фиг. 10). Если скорость v точки В параллельна V, то эти две скорости должны быть геометрически равны, так как каждая из них представляет скорость скольжения прямой АВ. Две точки фигуры имеют такие же скорости, как в поступательном движении со скоростью v, а потому мгновенное движение фигуры совпадает в рассматриваемый момент с этим поступательным движением. Если же скорость v не параллельна скорости , то прямые АС и ВС, соответственно перпендикулярные к

и v, будут иметь скольжения, равные нулю; они пересекаются в точке С, скорость которой, следовательно, должна быть равна нулю. В этом случае движение фигуры есть мгновенное вращение вокруг точки С и сама точка С есть мгновенный центр вращения. Мгновенный центр находится поэтому в точке пересечения прямых, проведенных из каждой точки движущейся фигуры перпендикулярно к скорости этой точки.

Проекции на две прямоугольные оси скорости точки М с координатами во вращательном движении и (положительном или отрицательном) вокруг начала получим непосредственно, дифференцируя по t формулы, выражающие х и у в полярных координатах, и замечая, что (положительное вращение происходит в направлении от Ох к Оу). Имеем и, дифференцируя при постоянном , найдем;

Если мгновенный центр находится в точке с координатами перенося начало координат в эту точку, получим:

Эти формулы представляют собой частный случай формул п° 55, из которых они могут быть выведены, если положить При этом выводе предполагается, конечно, что направления положительного вращения на плоскости и в пространстве согласуются между собой.

70. Непрерывное движение плоской фигуры в ее плоскости.

Рассмотрим движение плоской фигуры в течение промежутка времени . Мы будем предполагать, что в течение этого промежутка геометрические скорости всех точек фигуры изменяются непрерывно, и движение ни в какой момент времени не является мгновенным

поступательным движением. В таком случае в каждый момент существует мгновенный центр вращения С.

Если точка С неподвижна на плоскости, движение фигуры есть непрерывное вращение вокруг этой точки. В самом деле, каждая точка М движущейся фигуры описывает окружность вокруг точки С, так. как траектория точки во все время движения остается нормальной к радиусу МС. В этом случае точка С занимает также неизменное положение в движущейся фигуре.

Обратно, если мгновенный центр занимает неизменное положение в движущейся фигуре, то эта точка фигуры имеет скорость, постоянно равную нулю, и, следовательно, она неизменно связана также с неподвижной плоскостью; движение фигуры представляет собой, таким образом, непрерывное вращение вокруг неподвижной точки.

Фиг. 11.

Предположим теперь, что мгновенный центр С непрерывно перемещается в плоскости и в движущейся фигуре. Рассмотрим его абсолютное движение на неподвижней плоскости и его относительное движение на движущейся фигуре, принимаемой в качестве подвижной системы отсчетя. Мгновенный центр, перемещаясь, описывает кривую в неподвижной плоскости, представляющую его абсолютную траекторию, и некоторую другую кривую на движущейся фигуре, представляющую его относительную траекторию. Абсолютная траектория есть кривая которую мы будем называть неподвижной центроидов, а относительная траектория есть кривая которая перемещается вместе с движущейся фигурой и называется подвижной центроидои (фиг. 11). Мгновенный центр движется по каждой из этих двух кривых с соответствующей скоростью: с абсолютной скоростью по неподвижной кривой и с относительной скоростью по подвижной кривой. Легко видеть, что в каждый момент

относительная и абсолютная скорости совпадают по величине и направлению. В самом деле, их разность представляет собой переносную скорость мгновенного центра, т. е. скорость, которую имела бы точка С, если бы она была связана с движущейся фигурой. Но эта скорость равна нулю, так как С есть мгновенный центр вращения фигуры. Отсюда получаем следующие два заключения:

1°. Две кривые в каждый момент касаются друг друга в мгновенном центре, соответствующем этому моменту. В самом деле, касательные к двум кривым в мгновенном центре совпадают, так как они соответственно имеют направления абсолютной и относительной скоростей, геометрически равных друг другу.

2°. При движении фигуры в ее плоскости мгновенный центр описывает дуги одинаковой длины на обеих кривых . В самом деле, обозначим через дуги, пробегаемые точкой С на кривых и отсчитываемые от соответствующих начальных положений А и А этой точки на каждой из двух кривых. Так как точка движется с одинаковой скоростью по обеим кривым, то каково бы ни было

Поэтому обе дуги могут отличаться друг от друга лишь на постоянную величину. Так как в начальный момент обе дуги обращаются в нуль, то они равны между собой в каждый последующий момент.

Оба указанных свойства характеризуют качение без скольжения движущейся центроиды по неподвижной. Они дают очень наглядное представление самого общего непрерывного движения плоской фигуры в ее плоскости, которое не приводится к непрерывному вращению и ни в какой момент не вырождается в мгновенное поступательное движение. Таким образом, можно высказать следующую теорему:

Самое общее непрерывное движение плоской фигуры в ее плоскости можно осуществить, заставляя

катиться по неподвижной кривой другую кривую, которая неизменно связана с движущейся фигурой и увлекает ее в своем движении. Точка касания обеих кривых в каждый момент времени представляет собой мгновенный центр вращения. Неподвижная кривая есть геометрическое место мгновенных центров на неподвижной плоскости (неподвижная центроида), подвижная кривая есть геометрическое место мгновенных центров на движущейся фигуре (подвижная центроида).

71. Приложение к построению нормалей к кривым.

Если известно положение мгновенного центра при движении плоской фигуры в ее плоскости, то можно построить нормаль к траектории любой точки фигуры, так как эта нормаль проходит через мгновенный центр. Поэтому если данная кривая может быть описана точкой плоской фигуры в таком ее движении, для которого можно определить мгновенный центр вращения, то мы получаем способ построения нормали к этой кривой.

Рассмотрим несколько примеров.

Самым простым является случай, когда кривая представляет собой рулетту, т. е. когда кривая может быть определена как траектория точки, связанной с движущейся линией, которая катится по неподвижной кривой. В этом случае положение мгновенного центра (точки касания двух последних кривых) известно заранее. Например, циклоида есть рулетта, описываемая точкой окружности, которая катится по прямой; нормаль к циклоиде получим, соединяя движущуюся точку с точкою касания движущейся окружности и неподвижной прямой.

Второй простой пример представляет тот случай, когда две точки А и В движущейся фигуры вынуждены описывать заданные траектории. Нормали к этим траекториям, проведенные для каждого момента через точки Л и В, определяют своим пересечением мгновенный центр, соответствующий этому моменту. Например, эллипс описывается точкой М отрезка прямой АВ, концы которого скользят по двум осям Ох (фиг. 12). Мгновенный центр

определяется пересечением нормалей АС и ВС к осям, а нормаль к эллипсу в точке М есть МС.

Для рассматриваемого движения прямой АВ легко получить подвижную и неподвижную центроиды. В самом деле, угол АСВ (равный углу АОВ или дополнительный для него) остается постоянным; построим на отрезке АВ сегмент, вмещающий угол окружность сегмента пройдет через точку О, а отрезок ОС будет диаметром окружности.

Эта окружность, связанная с отрезком АЗ, есть геометрическое место мгновенных центров С на движущийся фигуре, или подвижная центроида.

Фиг. 12.

С другой стороны, ОС есть отрезок постоянной длины, так как это — диаметр указанной окружности. Поэтому геометрическим местом точек С на плоскости, или неподвижной центроидой будет служить окружность радиуса ОС с центром О. Таким образом, движение отрезка АВ по его направляющим можно осуществить, если заставить катиться внутренним образом окружность по неподвижной окружности вдвое большего радиуса. Эллипс, описываемый при этом точкой движущегося круга, входит в класс так называемых гипоциклоид.