§ 6. КОНЕЧНЫЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

76. Простые перемещения.

Когда твердое тело переходит из одного положения в другое, каждая из его точек совершает перемещение; тело в целом получает при этом некоторое перемещение, которое мы будем называть

просто перемещением твердого тела. Перемещение, о котором здесь идет речь, определяется двумя различными положениями твердого тела, рассматриваемыми в определенном порядке, так что имеются первое и второе положения. При этом мы совершенно отвлекаемся от промежуточных положений, через которые тело проходит во время движения из одного положения в другое, и от времени, в течение которого совершается этот переход. При изучении конечных перемещений твердого тела обнаруживаются замечательные свойства, которые в результате перехода к пределу (когда перемещение становится бесконечно малым) приводят к свойствам мгновенных движений, рассмотренным в предшествующих параграфах. Таким именно образом поступал при установлении этих свойств Шаль, которому мы обязаны этой теорией Свойства конечных перемещений менее просты, чем свойства бесконечно малых перемещений, но тем не менее они заслуживают самостоятельного изучения; этим именно мы и будем заниматься в настоящем параграфе.

Конечное перемещение твердого тела называется поступательным перемещением (трансляцией) (п°52), если перемещения всех точек тела геометрически равны. Поступательное перемещение определяется вектором в, геометрически равным перемещению какой-нибудь точки твердого тела.

Перемещение представляет собой вращение, когда второе положение тела получается из первого поворотом на определенный угол вокруг неподвижной оси. Вращение представляют вектором откладываемым по оси, причем величина вектора равна угловому перемещению, а ориентация на оси определяется направлением вращения.

Отсюда непосредственно вытекают следующие свойства:

Любое число последовательных поступательных перемещений приводится к одному результирующему поступательному перемещению (п°52).

Если выполнить последовательно поступательное перемещение и вращение, то окончательное перемещение

будет одно и то же, каков бы ни был порядок обеих операций.

Однако последовательные конечные вращения складываются не так, как складываются мгновенные одновременные вращения, правило в этом случае оказывается значительно более сложным. Отметим здесь следующее свойство напоминающее аналогичное свойство пары мгновенных вращений п° 58, 3°) и столь же простое:

Пара двух конечных последовательных вращений эквивалентна одному поступательному перемещению (вообще говоря, зависящему от порядка, в котором выполняются оба вращения).

В самом деле, рассмотрим плоскость, связанную с телом и параллельную осям обоих вращений. Эта плоскость повертывается на определенный угол в первом вращении, потом она повертывается в противоположную сторону на такой же угол во втором вращении и в результате оказывается параллельной своему первоначальному положению: она получает, таким образом, только поступательное перемещение. Перемещение твердого тела определяется при перемещением оси первого вращения во время поворота вокруг другой оси; в самом деле, первая ось при первом вращении остается неподвижной.

77. Конечное перемещение плоской фигуры в своей плоскости.

Самое сбщее конечное перемещение плоской фигуры в своей плоскости есть поступательное перемещение или вращение.

Пусть А (фиг. 16) — одна из точек фигуры и АВ — перемещение этой точки. Пусть далее ВС есть перемещение той точки фигуры, которая первоначально била в В. Отрезок АВ фигуры переходит поэтому в ВС и, следовательно, эти два отрезка равны. Если бы они были расположены на одной прямой, то они были бы или геометрически ровны, или ориентированы в противоположные стороны.

В первом случае перемещение отрезка (а следовательно, и всей фигуры) было бы поступательным. Во втором случае отрезок сделал бы пол-оборота, поэтому перемещение

фигуры было бы вращением на 180° вокруг середины отрезка. В общем случае перемещения АВ и ВС образуют между собой угол. Перпендикуляры, проведенные через середины этих двух отрезков, пересекаются в точке О. Поэтому отрезок АВ может быть перемещен в положение ВС вращением вокруг точки О. Следовательно, перемещение фигуры есть вращение.

Фиг. 16.

Перемещение твердого тела, параллельное плоскости, очевидно, приводится к перемещение плоской фигуры в ее плоскости. Оно представляет собой поэтому поступательное перемещение или вращение.

78. Конечное перемещение твердого тела, имеющего неподвижную точку.

Самое общее конечное перемещение твердого тела, имеющего неподвижную точку, есть вращение вокруг неподвижной оси, проходящей через эту точку.

Пусть О — неподвижная точка. Рассмотрим вторую точку А тела, и пусть АВ — ее перемещение. Пусть, как и в предшествующем случае (фиг. 16), ВС — перемещение точки В, так что отрезок АВ, связанный с телом, переходит в ВС. Проведем через середины двух отрезков АВ и ВС плоскости, перпендикулярные к этим отрезкам; обе плоскости пройдут через неподвижную точку О и пересекутся по прямой, проходящей через О. Отрезок АВ перемешается в положение ВС вращением вокруг найденной прямой, и это перемещение отрезка влечет за собой перемещение всего тела, что и доказывает предложение.

79. Перемещение свободного твердого тела.

Самое общее конечное перемещение свободного твердого тела разлагается на поступательное перемещение, определяемое

перемещением произвольной точки тела, и на вращение вокруг оси, проходящей через эту точку.

В самом деле, пусть О — какая-нибудь точка тела и в перемещение этой точки. Если сначала сообщим телу перемещение в, то после этого оно должно будет только повернуться вокруг точки О. Поэтому, в силу предшествующей теоремы, оно может быть переведено в свое новое положение вращением вокруг оси, проходящей через точку О, что и доказывает предложение. Поступательное перемещение и зависит от выбора точки О, вращение же остается одним и тем же при любом выборе этой точки. В самом деле, единственными прямыми, которые остаются параллельными самим себе при перемещении твердого тела, являются прямые, параллельные вектору углового перемещения . С другой стороны, величина вектора w и его направление, определяются углом, на который повертывается какая-нибудь плоскость, связанная с телом и параллельная .

Разложим поступательное перемещение в на два составляющие, одно параллельное вектору и другое перпендикулярное к этому вектору. Если сначала сообщим телу поступательное перемещение то остальная часть перемещения тела совершается параллельно плоскости, нормальной к w. Поэтому это дополнительное перемещение приводится к вращению w вокруг неподвижной оси (п° 77). Таким образом, перемещение твердого тела складывается из вращения w вокруг неподвижной оси и из скольжения вдоль этой оси. Это свойство выражают в следующих словах: самое общее конечное перемещение свободного твердого тела, есть винтовое перемещение,