Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 6. КОНЕЧНЫЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА76. Простые перемещения.Когда твердое тело переходит из одного положения в другое, каждая из его точек совершает перемещение; тело в целом получает при этом некоторое перемещение, которое мы будем называть просто перемещением твердого тела. Перемещение, о котором здесь идет речь, определяется двумя различными положениями твердого тела, рассматриваемыми в определенном порядке, так что имеются первое и второе положения. При этом мы совершенно отвлекаемся от промежуточных положений, через которые тело проходит во время движения из одного положения в другое, и от времени, в течение которого совершается этот переход. При изучении конечных перемещений твердого тела обнаруживаются замечательные свойства, которые в результате перехода к пределу (когда перемещение становится бесконечно малым) приводят к свойствам мгновенных движений, рассмотренным в предшествующих параграфах. Таким именно образом поступал при установлении этих свойств Шаль, которому мы обязаны этой теорией Свойства конечных перемещений менее просты, чем свойства бесконечно малых перемещений, но тем не менее они заслуживают самостоятельного изучения; этим именно мы и будем заниматься в настоящем параграфе. Конечное перемещение твердого тела называется поступательным перемещением (трансляцией) (п°52), если перемещения всех точек тела геометрически равны. Поступательное перемещение определяется вектором в, геометрически равным перемещению какой-нибудь точки твердого тела. Перемещение представляет собой вращение, когда второе положение тела получается из первого поворотом на определенный угол вокруг неподвижной оси. Вращение представляют вектором Отсюда непосредственно вытекают следующие свойства: Любое число последовательных поступательных перемещений приводится к одному результирующему поступательному перемещению (п°52). Если выполнить последовательно поступательное перемещение и вращение, то окончательное перемещение будет одно и то же, каков бы ни был порядок обеих операций. Однако последовательные конечные вращения складываются не так, как складываются мгновенные одновременные вращения, правило в этом случае оказывается значительно более сложным. Отметим здесь следующее свойство напоминающее аналогичное свойство пары мгновенных вращений п° 58, 3°) и столь же простое: Пара двух конечных последовательных вращений эквивалентна одному поступательному перемещению (вообще говоря, зависящему от порядка, в котором выполняются оба вращения). В самом деле, рассмотрим плоскость, связанную с телом и параллельную осям обоих вращений. Эта плоскость повертывается на определенный угол в первом вращении, потом она повертывается в противоположную сторону на такой же угол во втором вращении и в результате оказывается параллельной своему первоначальному положению: она получает, таким образом, только поступательное перемещение. Перемещение твердого тела определяется при 77. Конечное перемещение плоской фигуры в своей плоскости.Самое сбщее конечное перемещение плоской фигуры в своей плоскости есть поступательное перемещение или вращение. Пусть А (фиг. 16) — одна из точек фигуры и АВ — перемещение этой точки. Пусть далее ВС есть перемещение той точки фигуры, которая первоначально била в В. Отрезок АВ фигуры переходит поэтому в ВС и, следовательно, эти два отрезка равны. Если бы они были расположены на одной прямой, то они были бы или геометрически ровны, или ориентированы в противоположные стороны. В первом случае перемещение отрезка (а следовательно, и всей фигуры) было бы поступательным. Во втором случае отрезок сделал бы пол-оборота, поэтому перемещение фигуры было бы вращением на 180° вокруг середины отрезка. В общем случае перемещения АВ и ВС образуют между собой угол. Перпендикуляры, проведенные через середины этих двух отрезков, пересекаются в точке О. Поэтому отрезок АВ может быть перемещен в положение ВС вращением вокруг точки О. Следовательно, перемещение фигуры есть вращение.
Фиг. 16. Перемещение твердого тела, параллельное плоскости, очевидно, приводится к перемещение плоской фигуры в ее плоскости. Оно представляет собой поэтому поступательное перемещение или вращение. 78. Конечное перемещение твердого тела, имеющего неподвижную точку.Самое общее конечное перемещение твердого тела, имеющего неподвижную точку, есть вращение вокруг неподвижной оси, проходящей через эту точку. Пусть О — неподвижная точка. Рассмотрим вторую точку А тела, и пусть АВ — ее перемещение. Пусть, как и в предшествующем случае (фиг. 16), ВС — перемещение точки В, так что отрезок АВ, связанный с телом, переходит в ВС. Проведем через середины двух отрезков АВ и ВС плоскости, перпендикулярные к этим отрезкам; обе плоскости пройдут через неподвижную точку О и пересекутся по прямой, проходящей через О. Отрезок АВ перемешается в положение ВС вращением вокруг найденной прямой, и это перемещение отрезка влечет за собой перемещение всего тела, что и доказывает предложение. 79. Перемещение свободного твердого тела.Самое общее конечное перемещение свободного твердого тела разлагается на поступательное перемещение, определяемое перемещением произвольной точки тела, и на вращение вокруг оси, проходящей через эту точку. В самом деле, пусть О — какая-нибудь точка тела и в перемещение этой точки. Если сначала сообщим телу перемещение в, то после этого оно должно будет только повернуться вокруг точки О. Поэтому, в силу предшествующей теоремы, оно может быть переведено в свое новое положение вращением Разложим поступательное перемещение в на два составляющие, одно
|
1 |
Оглавление
|