§ 3. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ

18. Определение эквивалентности.

Две системы векторов называются эквивалентными, если они имеют одинаковые главные векторы и одинаковые главные

моменты относительно какой-нибудь точки пространства.

Чтобы не было никакой неясности, необходимо заметить, что если две системы векторов имеют один и тот же главный вектор R и один и тот же главный момент относительно какого-нибудь центра О, то они будут иметь одинаковые главные моменты и относительно всякого другого центра О. В самом деле, главный момент каждой из этих систем относительно центра О получается из главного момента относительно О прибавлением к последнему момента относительно О вектора R, приложенного в О: эта геометрическая сумма одна и та же для обеих систем, и потому главные моменты, предполагаемые одинаковыми относительно точки О, останутся одинаковыми и относительно точки О.

В аналитической форме условие того, что две системы векторов S и S эквивалентны, представляют, записывая, что они имеют один и тот же главный вектор и один и тот же главный момент относительно начала координат. Пусть R есть главный вектор системы S, G — ее главный момент относительно начала; X, У, Z — проекции главного вектора R, и L, М, N — проекции главного момента G. Соответствующие величины для системы S будем отмечать штрихами. Алгебраические условия эквивалентности выражаются шестью равенствами:

Они сводятся к двум геометрическим равенствам:

В частности, система сходящихся векторов эквивалентна своей результирующей. В самом деле, в этом случае главный момент равен моменту результирующей (п° 13).

Замечание. — Если дана система векторов S, то из нее можно выделить любую ее часть и заменить ее эквивалентной системой векторов. Таким способом мы заменим

полную систему S другой эквивалентной системой, так как эта операция не изменяет ни R, ни

19. Определение. Система, эквивалентная нулю.

Система векторов S эквивалентна нулю, если ее главный вектор и главный момент относительно какой-нибудь точки равны нулю; в таком случае эти векторы будут равны нулю и для всякой другой точки (п° 15).

Чтобы выразить в аналитической форме условие эквивалентности нулю системы S, нужны шесть алгебраических уравнений:

Они сводятся к двум геометрическим равенствам

В частности, чтобы система двух векторов была эквивалентна нулю, необходимо и достаточно, чтобы оба вектора имели одну величину и были прямо противоположны.

В самом деле, вектор R может обратиться в нуль лишь в том случае, когда оба вектора имеют равные модули и ориентированы в противоположные стороны. Далее, так как главный момент должен обращаться в нуль, в частности, для точки, лежащей на одном из векторов, то необходимо, чтобы линия действия другого вектора проходила через этот центр, что может иметь место лишь в том случае, когда векторы прямо противоположны.

Замечание. — Если к системе векторов S присоединить другую систему S, эквивалентную нулю, то получившаяся система будет эквивалентна системе S, так как присоединение системы S не изменяет ни R, ни G. — В частности, если система S эквивалентна нулю, то система SS тоже эквивалентна нулю.

20. Теорема.

Для эквивалентности двух систем векторов S и S необходимо и достаточно, чтобы система образованная присоединением к векторам

системы S векторов, прямо противоположных векторам системы S, была эквивалентна нулю.

В самом деле, изменяя направление векторов системы S на противоположное, мы изменим тем самым только направления главного вектора и главного момента этой системы. Проекции на оси главного вектора и главного момента системы которую можно обозначить также будут поэтому:

Если эти величины все равны нулю, то т. е. обе системы эквивалентны, и наоборот.

21. Пара векторов.

Пара есть система, состоящая из двух векторов, равных по величине, параллельных и противоположно ориентированных. Когда оба вектора пары имеют одну линию действия (прямо противоположны), то система эквивалентна нулю.

Когда пара не эквивалентна нулю, то плоскость двух векторов, составляющих пару, называется плоскостью пары; расстояние между линиями действия векторов пары называется плечом пары.

Так как главный вектор пары равен нулю, то главный момент ее один и тот же для всех точек пространства (п° 15). Этот главный момент G называется осевым моментом пары, или, короче, моментом пары. Он может быть приложен в произвольной точке пространства.

Построим осевой момент пары, выбирая центр моментов на одном из векторов пары. Момент пары приводится тогда к моменту другого вектора. Таким образом, осевой момент пары перпендикулярен к плоскости пары. Его величина равна произведению величины Р одного из векторов на плечо пары.

Можно построить бесконечное множество пар, имеющих данный осевой момент G. В самом деле, можно по желанию задать плоскость пары, перпендикулярную к С, и выбрать произвольно в этой плоскости точки приложения векторов и общее направление их линий действия.

Плечо пары 8 определяется этим выбором, а величину Р и ориентацию обоих векторов находим после этого, принимая во внимание, что и что силы пары ориентированы в положительную сторону вращения вокруг

Две пары, осевые моменты которых геометрически равны, эквивалентны друг другу, так как они имеют один и тот же главный вектор (нуль) и одинаковые главные моменты.

22. Сложение пар.

Система нескольких пар эквивалентна одной паре, осевой момент которой равен геометрической сумме осевых моментов составляющих пар.

В самом деле, эта единственная пара имеет тот же главный вектор (нуль), что и система составляющих пар, и ее главный момент такой же, как у этой системы пар, так как главный момент пары совпадает с ее осевым моментом.

23. Параллельный перенос вектора. Пара переноса.

Не нарушая эквивалентности системы, можно перенести вектор Р системы, приложенный в точке А, в другую точку В, при условии, что мы присоединим к системе пару, осевой момент которой равен моменту вектора Р относительно точки В.

В самом деле, система остается эквивалентной самой себе, если мы присоединим к ней два вектора, приложенные в точке В, равные и параллельные Р и ориентированные в противоположные стороны, так как мы присоединяем этим самым систему векторов, эквивалентную нулю, что не изменяет ни главного вектора, ни главного момента системы (п°19). Но система трех векторов, полученных таким способом, состоит из вектора Р, перенесенного в точку В, и пары с осевым моментом, указанным в условии теоремы. Эта пара, которую нужно присоединить к перенесенному вектору, чтобы восстановить эквивалентность системы самой себе, часто называется парой переноса.

В частности, если перенести вектор Р в другую точку, лежащую на линии его действия, то пара переноса эквивалентна нулю, и вектор остается эквивалентным самому себе. Таким образом, с точки зрения эквивалентности, векторы можно перемещать вдоль линии их действия. Это свойство выражают, говоря, что, с точки зрения эквивалентности, векторы системы являются скользящими векторами.