§ 6. ПРИНЦИП ВИРТУАЛЬНЫХ РАБОТ ДЛЯ СИСТЕМ С НЕОБРАТИМЫМИ ПЕРЕМЕЩЕНИЯМИ

252. Односторонние связи.

Связи, рассматриваемые до сих пор, выражались уравнениями, и перемещения системы, совместимые со связями, были обратимыми. Связи, выражающиеся неравенствами, называются односторонними. В противоположность им связи, выражающиеся равенствами, называются двусторонними.

Легко можно привести, и мы это уже делали, очень простые примеры односторонних связей. Если движущаяся

точка находится на одной стороне непроницаемой поверхности, через которую она не может перейти, но с которой может сойти без всякого сопротивления, то связь выражается неравенством. Действительно, если точка движется по поверхности, то ее координаты удовлетворяют уравнению последней

Функция f принимает положительные значения с одной стороны от поверхности и отрицательные значения с другой стороны; поэтому, если точка движется по поверхности со стороны положительной области и может сойти с поверхности только в эту область, то связь выражается неравенством (соединенным с равенством)

Если две точки М и М связаны между собой гибкой и нерастяжимой нитью длины , то расстояние между ними может сделаться меньше I, но не может быть больше этой длины. Эта связь тоже выражается неравенством (соединенным с равенством)

Рассмотрим теперь общий случай. Пусть на голономную систему наложено некоторое число односторонних связей и, кроме того, другие связи, которые могут быть двусторонними. Необходимо различать два рода положений системы; обыкновенные положения, при которых односторонние связи удовлетворяются только в смысле неравенств, и граничные положения, при которых по крайней мере одна из этих связей удовлетворяется и в смысле равенства.

При обыкновенных положениях системы односторонние связи ничем не ограничивают виртуальных перемещений системы, они в этом случае уже не являются связями, и их можно не учитывать при применении принципа виртуальных перемещений. Мы имеем здесь в точности случай, изученный выше,

Предположим теперь, что система находится в граничном положении. Мы можем исключить на том же основании все односторонние связи, которые при данном положении системы имеют место только в смысле неравенств, и рассматривать лишь связи, которые удовлетворяются и в смысле равенств. Эти связи допускают среди прочих и необратимые перемещения. Однако когда мы рассматриваем какое-нибудь необратимое перемещение, необходимо делать различие между оставшимися односторонними связями. Одни из них при этом перемещении удовлетворяются в смысле равенств, для других дело обстоит иначе. Первые ведут себя при этом как двусторонние связи. Вторые, наоборот, перестают действовать при этом перемещении и не играют в нем никакой роли: эффект их действия может проявиться лишь в том, чтобы не допустить противоположного перемещения. Поэтому при данном необратимом перемещении эти связи можно вовсе не рассматривать. Принцип виртуальных перемещений может быть распространен на случай необратимых перемещений, но при этом он несколько видоизменяется. Это изменение относится прежде всего к основной лемме, служащей основанием принципа (п° 232). Она должна быть дополнена следующим образом:

253. Лемма.

Пусть некоторая материальная система находится под действием данных сил и занимает данное положение (положение равновесия или нет). Для всякого обратимого или необратимого виртуального перемещения, сумма работ реакций связей, действующих в этом положении системы, равна нулю или положительна. Сумма работ реакций связей всегда равна нулю при действительном перемещении.

Для обратимых перемещений эта формулировка леммы совпадает, с прежней, поэтому достаточно рассмотреть необратимые перемещения.

Если сначала рассмотрим виртуальные перемещения, то принцип верен: 1° для точки, движущейся по поверхности и могущей сойти с нее в одну сторону, ибо работа

реакции поверхности, предполагаемой жесткой, положительна, если точка виртуально удаляется от поверхности; 2° для двух точек, которые удерживаются натянутой нитью, но могут приближаться друг к другу, так как сумма работ реакций, поскольку они существуют в натянутой нити, положительна при виртуальном приближении точек друг к другу; 3° для двух твердых поверхностей, которые опираются одна на другую, так как если их виртуально удалять друг от друга, сумма работ реакций, действующих в точке прикосновения, положительна.

Если рассмотреть теперь действительное необратимое перемещение системы, то сумма работ реакций будет равна нулю, так же как и сами реакции. В самом деле, если точка, движущаяся по одной стороне поверхности, действительно покидает эту поверхность, она не производит на нее давления; если две точки действительно приближаются друг к другу, они не натягивают нить, их связывающую; если две поверхности удаляются, они не опираются уже одна на другую.

Распространяя лемму на другие случаи, мы постулируем ее как принцип, являющийся индуктивным обобщением наших физических знаний.

Принцип виртуальных перемещений для случая односторонних связей и необратимых перемещений принимает следующую форму:

254. Принцип виртуальных перемещений.

Для равновесия материальной системы, подчиненной односторонним связям и находящейся в граничном положении, необходимо и достаточно, чтобы сумма виртуальных работ прямо приложенных сил была равна нулю для всех обратимых перемещений и равна нулю или отрицательна для всех необратимых перемещений, если и те и другие совместимы со связями, наложенными на систему.

Условие необходимо, так как, если каждая точка системы находится в равновесии, то сумма виртуальных работ всех активных сил и сил связи равна нулю. Сумма

работ сил связи равна нулю или положительна для перемещения, совместимого со связями, поэтому сумма работ активных сил будет равна нулю или отрицательна.

Условие также и достаточно по той же причине, как для случая двусторонних связей. Система не может прийти в движение, так как сумма работ всех сил будет положительна на этом действительном перемещении. А так как работа сил связи равна нулю, согласно лемме, то работа активных сил будет также положительна, что противоречит условию.

Замечание. — Можно всегда избежать обращения к принципу виртуальных перемещений, выраженному в этой более сложной форме. В большинстве случаев предпочитают, и это всегда законно, применять принцип в его первоначальной форме, как если бы все связи были двусторонними. Потом a posteriori проверяют, действуют ли силы связи на самом деле в ту сторону, в какую они могут действовать. Например, если речь идет о натянутых нитях, то необходимо проверить, что в найденном положении равновесия системы нити действительно находятся под действием растягивающих, а не сжимающих сил.