§ 6. ВЕКТОРНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ

32. Производная вектора.

Пусть есть вектор, проекции которого на оси представляют собой непрерывные и дифференцируемые функции от t, и который, следовательно, сам есть функция от t. Если дать t приращение , то вектор V получит геометрическое приращение

т. е. вектор, имеющий проекциями на оси . Если стремится к нулю, то отношение стремится к предельному вектору, имеющему проекции

Этот предельный вектор называется геометрической производной вектора и обозначается через

Обычные правила дифференцирования суммы и произведения применимы и к векторному дифференцированию, так как они применимы к проекциям суммы и векторного произведения на оси координат. Имеем поэтому:

При дифференцировании векторного произведения необходимо сохранять порядок множителей.

33. Интегрирование.

Пусть есть непрерывная функция от в интервале , и пусть — ее проекции на оси. Разложим интервал на последовательных интервалов точками и составим геометрическую сумму, распространенную на все индексы

Эта сумма стремится к определенному предельному вектору, когда последовательные значения неограниченно приближаются друг к другу, и этот предельный вектор обозначается векторным интегралом

Действительно, это вполне определенный вектор, так как его проекции на оси представляют собой пределы проекций указанной выше суммы, т. е. интегралы