§ 3. ОСНОВНЫЕ ЕДИНИЦЫ ИЗМЕРЕНИЯ

110. Три основные единицы механики.

В геометрии имеется лишь одна основная единица, единица длины, например, метр. Остальные единицы являются производными, так как они выражаются через первую. Таковы единицы площади и объема: квадратный метр и кубический метр.

В кинематике мы имеем две основные единицы: единицу длины и единицу времени. Остальные единицы оказываются производными. Таковы, например, единицы скорости и ускорения.

В механике вообще имеются три основные единицы: две первые суть единицы длины и времени, третья единица может быть по выбору единицей силы или единицей массы. Соответственно этому применяются две системы единиц. В более старой в качестве третьей основной выбирают единицу силы: килограмм-сила; в более новой за основную принимают единицу массы: грамм-масса. Мы рассмотрим обе системы.

111. Килограмм-сила.

В первой системе, до сих пор очень употребительной в технике, берут следующие оснвные единицы:

единица длины: метр; единица времени: секунда; единица силы: килограмм-сила.

Килограмм-сила есть абсолютный вес 1 литра дистиллированной воды при наибольшей плотности в определенном месте, например, в Париже.

В этой системе единица массы является производной единицей. Действительно, из формулы получаем:

откуда видно, что если . Единица массы есть, таким образом, масса килограммов (т. е. около 10 кг).

Неудобство этой системы заключается в том, что определение единицы силы требует указания места, где производится определение абсолютного веса, так как абсолютный вес одного и того же тела изменяется вместе с ускорением силы тяжести g от одного места к другому. Это неудобство не имеет сколько-нибудь заметного значения в промышленной практике, но оно оказывается значительным в теории и при лабораторных исследованиях. Именно с целью устранить это неудобство и была введена другая система: .

112. Система CGS.

Эта система была принята британской комиссией в 1871 г. и конгрессом электриков в 1881 г. Три основные единицы этой системы следующие:

единица длины: сантиметр;

единица времени: секунда среднего времени;

единица массы: грамм-масса.

Грамм-масса есть масса международного образца из сплава платины с иридием, который был принят общей конференцией мер и весов, состоявшейся в Париже в 1889 г., и помещен в павильоне Breteuil в Севре, близ Парижа. Масса этого эталона очень мало отличается от массы одного кубического сантиметра дистиллированной воды при наибольшей плотности.

Так как в одном и том же месте ускорение силы тяжести g одинаково для всех тел, то соответствие доказывает, что массы тел находятся в том же отношении, как их абсолютные веса в одном и том же месте, и, следовательно, в том же отношении, как их относительные веса. Масса тела равна поэтому ее относительному весу, выраженному в граммах и измеренному при помощи весов (balance). То, что измеряют в торговле при помощи весов и гирь, является поэтому не абсолютным весом, а относительным весом и, следовательно, массой тел.

В системе CGS единица силы представляет собой производную единицу. Основная формула показывает, что если . Единица силы, называемая

диной, есть сила, которая сообщагт единице массы единицу ускорения, т. е. массе в 1 г ускорение Можно также сказать, что единица силы сообщает грамм-массе приращение скорости в течение одной секунды,

Дина представляет собой весьма малую силу по отношению к тем усилиям, которые человек производит своими мускулами. Килограмм-сила равна 1000 дин, или 980800 дин, т. е. около дин, так как см/сек3.

Когда нужно рассматривать очень большие силы, то в качестве единицы берут 1 мегадину, представляющую собой силу в , т. е. 1 миллион дин, или 0,98 килограмм-силы.

113. Система MTS.

Эта система получается из предыдущей, если в качестве основных единиц взять простые кратные предшествующих единиц, а именно:

единица длины: метр;

единица массы: тонна-масса,

единица времени: секунда.

Тонна-масса равна или 1 миллиону грамм-масс.

Единица силы есть стен (в сокращенном обозначении ): это — сила, сообщающая массе в 1 тонну ускорение 1 м/сек2, или, иначе, приращение скорости в каждую секунду.

Стен равен, таким образом, дин, или 100 мегадин. Он равен также килограмм-сил, т. е. около 100 килограмм-сил.

114. Формулы размерности. Однородность.

Выбор определенных единиц измерения необходим в практике. В теории удобнее единицы оставлять неопределенными и писать формулы, которые могут применяться при всякой системе единиц. Эти формулы должны поэтому обладать тройной однородностью, так как они должны быть однородны по отношению к каждой из трех основных единиц: длины, времени и массы.

Если изменить единицы, то значения длин, времен и масс умножатся соответственно на новые значения

прежних единиц. Поэтому скорость — умножится на ускорение наконец, сила на . В частности, прежние единицы скорости, ускорения и силы получат новые значения:

Таковы общие выражения производных единиц в функции от трех основных единиц L, Т, М. Они называются формулами размерностей этих единиц. Механическая формула, в которой единицы не указаны, должна оставаться неизменной, когда мы меняем единицы, т. е. когда умножаем длины на L, времена — на Т, массы — на М, скорости — на ускорения — на и силы — на Для этого необходимо, чтобы после такой операции формула была однородна по отношению к каждой из трех букв L, Т, М.

Легко проверить, что этот принцип осуществляется, например, в следующих формулах.

Формула Торичелли, которая дает скорость v тяжелой точки, падающей с высоты h, имеет вид:

Если умножить скорость v на ускорение и длину h — на L, то условие однородности будет выполнено.

Продолжительность бесконечно малого колебания простого маятника выражается формулой

Если умножить время на Т, длину — на L, ускорение то условие однородности и в этой формуле оказывается выполненным.