§ 4. ПРИМЕНЕНИЕ ПРИНЦИПА ВИРТУАЛЬНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ К МЕХАНИЗМАМ. РАВНОВЕСИЕ ПРОСТЫХ МАШИН

243. Предварительная проверка основной леммы.

Механизмы представляют собой соединения твердых тел, подчиненных некоторым связям. Тела, входящие в состав механизмов, могут опираться на неподвижные тела или друг на друга, они могут также быть связанными между собой шарнирами, цепями, нитями, ремнями и т. п.

Необходимо убедиться, что основная лемма верна для этих различных видов связей. Мы сделали это уже для неподвижных опор. Рассмотрим теперь случай, когда два тела связаны между собой шарниром или опираются одно на другое в общей точке или вдоль общей линии или поверхности. Возьмем одно из двух тел за подвижную систему отсчета; работа сил взаимодействия этих тел на

абсолютном перемещении равна сумме работ тех же сил на перемещениях: переносном и относительном. В переносном движении оба тела движутся как одна неизменяемая система, и работы сил действия и противодействия, равные по величине и противоположные по знаку, дают в сумме нуль. Остается определить лишь работу сил, действующих со стороны тела, принятого за подвижную систему отсчета, на движущееся тело, что приводит к случаю, разобранному в предыдущем п°. Таким образом, если трения нет, то виртуальная работа сил связи равна нулю для всякого перемещения, совместимого с условиями, наложенными на систему.

Цепи составляются из колец, представляющих собой твердые тела, которые могут скользить, катиться и вертеться одни по другим, а также по другим телам, неподвижным или движущимся, таким как блоки, барабаны и т. п. Так как цепи натянуты (что всегда предполагается), то все предыдущие рассуждения можно применить и к этому виду связей.

Связи между различными звеньями механизма могут осуществляться также нитями или шнурами, которые I ассматривают как идеально гибкие и нерастяжимые. Когда говорят, что нить идеально гибкая и нерастяжимая, под этим понимают: 1° что нить совершенно не имеет жесткости, т. е. не оказывает никакого сопротивления обвертыванию ее вокруг цилиндра или блока; 2° что длины элементарных дуг между двумя бесконечно близкими точками нити остаются неизменными при различных деформациях нити. Материальные точки нити, достаточно близкие для того, чтобы между ними могли действовать молекулярные силы, сохраняют при этом расстояния между собою неизменными. Это заключение может быть законным, очевидно, лишь при том условии, если сечение нити достаточно мало, и им можно пренебречь по сравнению с радиусами кривизны, которые нить вынуждена иметь при наматывании ее на цилиндр.

К такому виду связей относятся шнурки, канаты, тросы, ремни и т. п. Относительно всех этих видов связей можно

повторить то, что только что было сказано о нити, однако с тем меньшей степенью практической точности, чем больше сечения.

Принцип виртуальных перемещений можно поэтому применять ко всякой системе, связи которой относятся к только что рассмотренным нами категориям. Таковы, например, блоки подвижные и неподвижные, зубчатые колеса, валы, оси, подшипники (в частности, шариковые) и т. д.

Машиной называют всякий механизм, служащий для уравновешивания одной силы, называемой сопротивлением, посредством другой, которая называется движущей силой. Если передаточные звенья машины принадлежат к различным рассмотренным здесь видам связей, то принцип виртуальных перемещений может быть применен для вывода условий равновесия. Мы будем предполагать, что это имеет место, и выведем принцип Галилея, относящийся к равновесию машин.

244. Равновесие простых машин. Принцип Галилея.

Простые машины представляют собою системы с полными связями. Под этим подразум вают, что положение всех частей машины полностью определяется положением одной из ее точек, причем сама эта точка может двигаться только по определенной кривой. Положение машины может быть поэтому определено при помощи только одного параметра, фиксирующего оложение указанной точки на ее траектории.

Рассмотрим подобную машину, находящуюся под действием двух прямо приложенных сил: движущей силы Р, приложенной в точке А, и сопротивления R, приложенного в точке В. Чтобы вывести условие равновесия, сообщим машине некоторое виртуальное перемещение. Пусть в этом виртуальном перемещении и есть скорость точки А и v — скорость точки В; условие равновесия заключается в том, что сумма виртуальных раот сил Р и R должна быть равна нулю, т. е.

Пусть алгебраические значения проекций скоростей и и v на направления сил Р и R соответственно; тогда предыдущее векторное соотношение приводится к алгебраическому уравнению

При равновесии движущая сила и сопротивление находятся между собою в отношении, обратном отношению проекций соответствующих скоростей их точек приложения на направления этих сил. Это условие можно выразить в виде следующего правила, сформулированного еще Галилеем: что выигрывается в силе, то теряется в скорости.

К основным видам простых машин, применяемых в технике, к которым, если пренебречь трением, может быть приложено предыдущее правило, относятся рычаг, блоки, неподвижный и подпижный, ворот, приводимый в движение непосредственно рукояткой или посредством зубчатых колес, различные типы весов, винг, бесконечный винт, домкрат, представляющий собою комбинацию винта с рычагом, и т. д. Подробный обзор машин такого рода был бы, однако, более уместен в курсе машиноведения, нежели здесь.

В частности, можно было бы применить предыдущее правило к машинам, предназначенным для поднятия грузов и приводимым в действие рукояткой. Движущая сила в этом случае действует на рукоятку в сторону ее перемещения, сопротивление же есть вес груза. Движущая сила и сопротивление находятся в отношении, обратном отношению скорости, сообщенной рукоятке, к скорости поднятия груза.

В действительности, движущие силы, определенные на основании указанного теоретического правила, должны быть значительно увеличены, так как трение далеко не так ничтожно, чтобы им можно было пренебречь. Желая дать читателю некоторое представление о влиянии трения, укажем в качестве примера, что в случае неподвижного блока

движущую силу необходимо увеличить приблизительно на 20%, в случае винта, движущегося в гайке, — на 50%, в случае бесконечного винта — на 60%. Изучение простых машин с учетом трения не относится уже к теоретической механике, оно составляет одну из задач теории механизмов. Мы, однако, скажем несколько слов о трении в следующей главе.

245. К вопросу о сочлененных системах. Теорема Мориса Леви.

Плоская стержневая система (п° 201) называется строго неизменяемой, если достаточно удалить из нее только один стержень, чтобы сделать ее изменяемой. Кроме того, она представляет собой систему мгновенно изменяемую, если отбрасывание только одного стержня уже позволяет при помощи бесконечно малого изменения системы сблизить межяу собой или удалить друг от друга два узла, которые этот стержень соединял. Теорема Мориса Леви утверждает, что при этих условиях усилия, действующие на стержни, не зависят от деформаций и определяются на основании общих принципов статики. Докажем эту теорему, применяя принцип виртуальных перемещений.

Пусть требуется определить усилия, действующие на стержень АВ. Закрепим сначала один из стержней системы, отличных от и оканчивающихся в точке А, тогда система будет неподвижна в своей плоскости. Если отбросим после этого стержень АВ и заменим его силой Р, с которой он действует на точку В, то получим систему с полными связями, находящуюся в равновесии. Дадим системе бесконечно малое виртуальное перемещение, и пусть — изменение длины АВ при этом перемещении. Работа силы Р (если считать Р положительной в случае растяжения) будет — пусть, с другой стороны, виртуальная работа сил, прямо приложенных к узлам системы, обозначена через . Условие равновесия сил имеет вид:

и Р определяется этой формулой.

Следует заметить, что это доказательство с таким же успехом можно применить и к пространственным стержневым системам.