§ 5. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ВЕКТОРЫ

29. Приложение общих теорем. Определение центральной оси.

Если все векторы системы параллельны, то их главный вектор R параллелен общему направлению векторов или равен нулю. С другой стороны, моменты различных векторов относительно точки О перпендикулярны к этому общему направлению, и потому главный момент О системы тоже перпендикулярен к этому направлению. Итак, если R не равен нулю, то G и R перпендикулярны между собой: система допускает, таким образом, одну результирующую, или просто результирующую, приложенную в какой-нибудь точке центральной оси . Если бы главный вектор был равен нулю, то система приводилась бы к одной паре или нулю, но не могла бы быть приведена к одному вектору.

Предположим, что главный вектор R отличен от нуля. В этом случае система эквивалентна своей результирующей, приложенной в одной из точек центральной оси. Мы определим эту ось как геометрическое место точек, в которых нужно приложить результирующую, чтобы она была эквивалентна всей системе.

Зададим три взаимно перпендикулярные оси Охуz, и пусть — направляющие косинусы одного из векторов системы, взятого произвольно. Обозначим через алгебраические значения векторов системы, считая их положительными при ориентации в сторону и отрицательными в противном случае. Каков бы ни был знак проекции соответствующего вектора на оси будут:

Если мы обозначим через координаты точки приложения вектора то моменты относительно осей будут иметь значения:

Пусть теперь будут: R — алгебраическая величина результирующей; — координаты ее точки приложения; моменты относительно осей. Тогда имеем:

Задача заключается в том, чтобы найти точки , где следует приложить результирующую R. С этой целью заметим, что система векторов V, с одной стороны, и вектор R, с другой, должны иметь одинаковые моменты относительно трех осей. Это условие дает три уравнения:

Заменяя в первом уравнении и L их значениями, полученчыми выше, будем иметь:

Два других аналогичных уравнения получим в результате круговой перестановки букв. Таким образом, мы приходим к уравнениям:

Эти два уравнения, которым должны удовлетворять координаты точки приложения результирующей, суть уравнения прямой с направлением , эта прямая и есть центральная ось.

30. Центр системы параллельных векторов.

Каковы бы ни были величины , центральная ось проходит через точку , определяемую уравнениями:

Таким образом, эта точка занимает вполне определенное положение, каково бы ни было общее направление векторов, лишь бы эти векторы сохраняли те же самые точки

приложения и те же самые величины (впрочем, относительные). Поэтому, если поворачивать векторы вокруг их точек приложения, сохраняя, конечно, их параллельность, то линия действия результирующей все время будет проходить через определенную точку, и саму результирующую всегда можно приложить к этой точке. Вот почему эта особенная точка называется центром параллельных векторов. Обычно условливаются рассматривать ее в более узком смысле как точку приложения результирующей.

31. Моменты относительно плоскости.

Рассмотрим систему паралцельных векторов, положительных и отрицательных, соответственно тому, направлены они в одну или другую сторону. Моментом вектора относительно плоскости называется произведение алгебраической величины вектора на расстояние от его точки приложения до плоскости; при этом расстояние считается положительным с одной стороны плоскости и отрицательным — с другой.

Если ввести такое определение, то три уравнения (1) (п°30), определяющие центр параллельных векторов, вследствие произвольного выбора осей, будут выражать следующую теорему:

Если результирующая системы параллельных векторов (предполагаемая отличной от нуля) приложена в центре параллельных векторов, то момент ее относительно какой-нибудь плоскости равен сумме моментов составляющих относительно той же плоскости.

Для этой теоремы существенное значение имеет предположение, что геометрическая сумма R параллельных векторов отлична от нуля. Если бы вектор R был равен нулю, то центр параллельных векгоров, определенный формулами предшествующего п°, удалился бы в бесконечность. Легко видеть, что центр параллельных векторов вполне определяется применением предыдущей теоремы по отношению к трем плоскостям какого-нибудь триэдра, безразлично, будут ли эти плоскости взаимно перпендикулярны или наклонны друг к другу.

Теорема остается справедливой и в том случае, когда расстояние точки от плоскости, вместо того чтобы отсчитываться по нормали, отсчитывается по наклонной к плоскости, лишь бы эта наклонная оставалась параллельной определенному направлению, так как эти два расстояния (отсчитанные по нормали и по наклонной) находятся между собой в постоянном отношении. Отсюда следует, что формулы предшествующего п°, определяющие центр параллельных векторов, сохраняют силу и для косоугольных осей.

Едва ли необходимо обращать внимание читателя на то, что центр параллельных векторов определен при помощи свойств, не зависящих от выбора осей координат. Следовательно, положение точки с координатами , определяемой формулами (1) предшествующего п°, не зависит от рассматриваемой системы осей, прямоугольных или косоугольных.