§ 4. ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ ПО НЕПОДВИЖНОЙ ПОВЕРХНОСТИ

156. Дифференциальные уравнения движения.

Рассмотрим точку М массы , вынужденную двигаться по неподвижной поверхности S, заданной уравнением

Пусть F есть сила, приложенная к точке, - ее проекции на оси (предполагаемые прямоугольными), N — реакция поверхности и — ее направляющие косинусы. Точка М может рассматриваться как свободная, если мы присоединим к силе F реакцию N. Уравнения движения тогда будут

Мы будем рассматривать только тот случай, когда поверхность S абсолютно гладкая и, следовательно, может развить только нормальную реакцию, действующую на точку М. В этом случае соответственно пропорциональны частным производным функции ; можно поэтому положить

Уравнения движения принимают вид:

Уравнения (1) и (3) образуют систему четырех уравнений между четырьмя неизвестными функциями и временем. Теоретически они позволяют определить эти четыре неизвестные в зависимости от t. После того как движение будет определено, уравнения (3) позволят непосредственно найти проекции на оси нормальной реакции N; последняя будет, таким образом, тоже определена.

Теорема живой силы дает в случае неподвижной поверхности, как и в случае кривой, уравнение, не зависящее от реакции :

Если существует силовая функция (х,у, z) для силы F, то из предыдущего уравнения получаем интеграл живой силы:

Однако одного уравнения живой силы в той или другой форме недостаточно, чтобы определить движение, так как положение точки на поверхности зависит от двух параметров.

157. Нормальная реакция поверхности.

Реакция N может быть определена, если исходить из геометрического равенства

Пусть у, есть проекция вектора j на нормаль к поверхности, проведенную в какую-нибудь определенную сторону и образующую с главной нормалью к траектории угол тогда будет, если обозначить через радиус кривизны траектории:

Пусть F, есть проекция силы F на ту же нормаль к поверхности. Если спроектировать обе части геометрического равенства (4) на эту нормаль, то получим:

откуда

Эту формулу можно упростить, если обратиться к теореме из теории поверхностей, известной под названием теоремы Менье (Мeusnier). Пусть R есть радиус кривизны нормального сечения поверхности плоскостью, проходящей через касательную МТ к траектории; на оснввании этой теоремы имеем соотношение , откуда

Таким образом, нормальная реакция поверхности есть разность следующих двух сил: с одной стороны, центростремительной силы, которая была бы приложена к точке, если бы эта точка описывала с той геометрической скоростью, которую она в данный момент имеет, нормальное сечение поверхности, и, с другой стороны, силы, равной проекции движущей силы на нормаль к поверхности.

158. Случай, когда движущая сила равна нулю.

Если движущая сила равна нулю, то теорема живой силы непосредственно дает . Скорость точки имеет постоянную величину во все время движения. В этом случае нормальная реакция N поверхности есть в то же время полная сила, действующая на точку; поэтому эта сила, так же как и ускорение, лежит в соприкасающейся плоскости к траектории и направлена по главной нормали к этой кривой. Таким образом, главная нормачь к траектории в каждой ее точке есть в то же время нормаль к поверхности. Кривые, обладающие таким свойством, называются геодезическими линиями. Можно доказать, что геодезические линии являются кратчайшими из всех линий, которые можно провести на поверхности между двумя точками, если только эти две точки находятся достаточно близко одна от другой. Таким образом, если при движении точки по абсолютно гладкой поверхности движущая сила равна нулю, то траекторией точки будет геодезическая линия. В частности, если поверхность сферическая, то траекторией точки будет дуга большого круга этой сферы.