§ 3. УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ СВОБОДНОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА

184. Определение твердого тела в статике. Постулат механики, который предполагается при этом определении.

В статике, так же как и в кинематике (п° 51), твердым телом называется система материальных точек, неизменно связанных между собой. Эта система представляет собой, таким образом, абсолютно твердое тело, точки которого остаются на неизменных расстояниях друг от друга, каковы бы ни были силы, действующие на эти точки и каково бы ни было движение тела.

Определенное таким образом тело есть, конечно, идеализация. Прежде всего, физика учит нас, что твердые тела состоят из молекул, которые сами имеют весьма сложное строение и могут находиться в самых разнообразных скрытых движениях. Именно о молекулах, взятых в их средних положениях, можно сказать, что они остается с большой степенью приближения на одних и тех

же расстояниях друг от друга. Таким образом, только на молекулы в их средних положениях мы можем смотреть здесь как на материальные точки. Но это еще не все; даже если пренебречь скрытыми молекулярными движениями и обращать внимание только на видимые перемещения частиц, то и тогда все тела природы изменяют свою форму под действием приложенных к ним сил; внутренние силы, действующие между частицами одного и того же тела, зависят, как мы это знаем (п° 109), от этих деформаций. Тем не менее, так как деформации тел, называемых в физике «твердыми», весьма малы, ими можно пренебречь в первом приближении, если только приложенные к телам силы не слишком велики и если мы не занимаемся изучением внутренних сил. Определение внутренних сил и видимых деформаций, происходящих в твердых телах, является трудной задачей, относящейся уже не к статике, а к теории упругости. Теория, которую мы будем излагать, с тем большей точностью применима к твердым физическим телам, чем больше они приближаются к абсолютно твердому телу.

С логической течки зрения геометрическая статика твердого тела должна рассматриваться как предельная теория. Она излагает известное число общих законов, применимых ко всем твердым телам, каковы бы ни были их молекулярное строение и их упругие свойства, если только деформации можно считать бесконечно малыми. Однако построенная таким образом теория представляет собой неполную теорию равновесия, так как она систематически оставляет в стороне упругие свойства, привлечение которых становится в некоторых случаях совершенно необходимым. В этих случаях методы геометрической статики оказываются недостаточными для разрешения всех вопросов, которые может поставить перед нами задача о равновесии. Некоторые из этих вопросов могут лаже оказаться противоречивыми, если сохранить гипотезу абсолютной неизменяемости твердого тела.

Одного условия недеформируемости недостаточно, чтобы обоснован, теорию равновесии твердых тел;

к этому нужно присоединить, в качестве дополнения к определению твердого тела, следующий механический постулат:

Постулат. — Не изменяя ничего в условиях равновесия твердого тела, можно прибавить или отбросить две равные и прямо противоположные силы, приложенные к двум его точкам.

Этот постулат можно было бы вывести из общего принципа, известного под названием принципа виртуальных перемещений, но мы пока не будем этого делать. Мы установим упомянутый принцип в одной из следующих глав как основание аналитической статики. Было бы также бесполезно вводить этот постулат, если принять основные законы динамики в том виде, как мы их изложили в предшествующей части курса, так как рассматриваемый постулат, как мы это увидим позже, представляет собой простой частный случай одной общей теоремы динамики твердого тела. Если мы вводим его здесь, то делаем это с той целью, чтобы сохранить за статикой характер самостоятельной дисциплины. Мы будем смотреть на этот постулат, с точки зрения физики, как на прямое следствие опыта; с точки же зрения теоретической механики мы будем рассматривать его как дополнение к определению твердого тела, принятому в статике, получая при этом ту выгоду, что мы освобождаемся от введения молекулярной гипотезы.

Как было уже замечено в теории векторов (п° 28), этот основной постулат влечет в качестве следствия следующее предложение:

Не нарушая условий равновесия твердого тела, можно перенести точку приложения силы в произвольную точку ее линии действия, лишь бы эта новая точка была связана с телом.

Само собою разумеется, что в этом предложении говорится лишь о состоянии равноьесия тела, а не о тех действиях, которые оказывают друг на друга различные точки тела, так как эти внутренние действия, конечно, изменятся при изменении точки приложения силу, Указанную

операцию можно, например, выполнить, когда твердое тело помещается на некоторых опорах, но ни в коем случае нельзя утверждать, что перенос силы в этом случае не изменит реакций опор. Было бы, следовательно, большой ошибкой применять принцип переноса силы при определении реакций опор, перенося, например, в точку опоры ту или другую из приложенных сил. Единственными условиями, которые можно законно применять в этом случае, оказываются общие условия равновесия, гак как последние всегда являются необходимыми условиями.

185. Приведение сил, приложенных к твердому телу (статическая точка зрения).

Мы только что видели, что можно, не нарушая равновесия твердого тела, произвести над силами, приложенными к точкам тела, следующие операции:

1°. Сложение или разложение сил, приложенных в одной точке.

2°. Прибавление или отбрасывание двух равных и прямо противоположных сил.

3°. Перенос силы в произвольную точку ее линии действия.

Эти операции, как это было установлено в теории векторов (п° 29), представляют собой как раз те элементарные операции, которые позволяют привести друг к другу две эквивалентные системы векторов. Отсюда получаем следующую теорему:

Не нарушая равновесия твердого тела, можно заменить всякую систему сил, приложенных к телу, другой системой сил, представляющей собой систему векторов, эквивалентную первой.

Такие две системы сил называют эквивалентными.

Задача приведения системы сил, приложенных к твердому телу, совпадает, таким образом, с задачей приведения системы векторов, так что мы можем высказать следующие заключения:

1°. Приведение к двум силам. Система сил, приложенных к твердому телу, может быть приведена,

нарушения равновесия, только к двум силам, из которых одна приложена в произвольно выбранной точке тела (п° 26).

2°. Приведение к силе и к паре. Система сил, приложенных к твердому телу, может быть приведена, без нарушения равновесия, к одной силе, приложенной в произвольной точке О тела, и к одной паре. Сила есть результирующая R всех сил системы, перенесенных в точку О (главный вектор), а момент пары равен главному моменту О системы сил относительно той же точки (п° 24).

Для того чтобы система сил приводилась к одной результирующей R, необходимо и достаточно, чтобы для произвольно взятого центра приведения О геометрическая сумма R была отлична от нуля, а результирующий момент G (если он не равен нулю) был перпендикулярен к R. Равнодействующая направлена в этом случае по центральной оси системы.

Для того чтобы система приводилась к одной паре, необходимо и достаточно, чтобы главный вектор R был равен нулю, а главный момент О был отличен от нуля. В этом случае главный момент системы один и тот же для каждой точки пространства.

Наконец, если векторы R и G оба равны нулю, то система эквивалентна нулю, и тело будет в равновесии. Мы рассмотрим этот случай в следующем п°.

Силы в плоскости. — Когда все силы действуют в одной плоскости, и геометрическая сумма их R не равна нулю, результирующий момент G (так же, как и момент каждой силы) перпендикулярен к R. Следовательно, эти силы приводятся к одной равнодействующей R, приложенной в точке центральной оси (лежащей, очевидно, в плоскости действия сил). Если R равна нулю, то система приводится к одной паре, а если, кроме того, и G равен нулю, то система находится в равновесии.

Полезно заметить, что всякая плоская система сил всегда может быть приведена к двум силам, прило. женным в двух данных точщх А и плоскости,

В самом деле, каждая сила t, приложенная в точке О, лежащей вне прямой АВ, раскладывается, по направлениям ОА и ОВ, на две составляющие, которые можно перенести в точки А и В. Если точка О приложения силы лежит на АВ, и линия действия силы проходит через А, то точку приложения силы можно перенести в если линия действия силы не проходит через А, то точку приложения силы можно перенести вдоль линии действия за прямую АВ, что приводит к первому случаю.

Параллельные силы. — Если силы параллельны, и их геометрическая сумма R не равна нулю, то результирующий момент G перпендикулярен к R, и, следовательно, эти силы приводятся к одной результирующей R приложенной в точке центральной оси (параллельной общему направлению сил). Если R равна нулю, то система приводится к одной паре или находится в равновесии (когда момент пары равен нулю).

186. Равновесие твердого тела.

Для равновесия свободного твердого тела необходимо и достаточно, чтобы система приложенных к нему сил (т. е., в данном случае, внешних сил) была эквивалентна нулю.

Мы знаем уже, что это условие необходимо, так как оно представляет собой общее условие равновесия.

Для твердого тела оно оказывается также и достаточным. В самом деле, если система сил эквивалентна нулю, она может быть приведена к нулю элементарными операциями и, следовательно, можно просто отбросить все составляющие ее силы. На основании этого имеем два условия равновесия в векторной форме

Эти условия распадаются на шесть алгебраических уравнений. Пусть X, У, Z — проекции вектора R на три прямоугольные оси координат, или суммы проекций всех сил на же оси; пусть далее L, М,

-результирующие моменты системы этих сил относительно тех же осей; тогда эти шесть уравнений будут:

Часто говорят, что три первые уравнения (эквивалентные равенству R = 0) представляют собою условия равновесия для поступательного движения, а три последние (эквивалентные равенству G = 0) - условия равновесия для вращения. Основание для таких названий мы получим позднее, при применении к решению той же задачи принципа виртуальных работ.

187. Приведение сил, приложенных к твердому телу (динамическая точка зрения). Динамическое равновесие.

В динамике твердого тела мы покажем, что в случае свободного твердого тела его движение будет полностью определено, если для каждого момента времени даны главный вектор и главный момент относительно какой-нибудь точки всех приложенных к нему сил. Отсюда имеем следующую теорему:

Если две системы сил, приложенных к твердому телу, постоянно эквивалентны между собой с точки зрения теории векторов, то они будут эквивалентны и с точки зрения движения тела.

Эта теорема, по существу, относится к динамике, но она тесно связана также с геометрической статикой. Действительно, ее можно доказать при помощи очень простого обобщения основного постулата, который уточняет определение твердого тела в статике (п° 184).

В самом деле, заменим этот постулат следующим:

Не изменяя ничего в состоянии покоя или движения твердого тела, можно прибавить или отбросить две равные и прямо противоположные силы, приложенные к двум точкам тела.

Этот более общий постулат, который может быть также проверен непосредственно опытом, позволяет дать такое

же обобщение понятию приведения и эквивалентности сил. В самом деле, во всех предложениях п° 185 можно заменить слова «не нарушая равновесия» словами «ничего не изменяя в состоянии покоя или движения тела». Тогда заключение п°185 оказывается равносильным высказанному здесь динамическому принципу.

Отметим, в частности, одно следствие:

Если твердое тело под действием системы сил S остается в равновесии, то эта система сил (будучи эквивалентна нулю) ничего не может изменить и в состоянии движения тела, если последнее уже не находится в покое.

Теперь совершенно естественно установить такое определение:

Данная система сил находится в равновесий с точки зрения динамики, или в динамическом равновесии, если силы не могут изменить состояние покоя или движения твердого тела, к которому они приложены.

Имея это определение, можно высказать следующее предложение:

Для того чтобы силы, приложенные к твердому телу, находились в динамическом равновесии, необходимо и достаточно, чтобы они представляли собой систему векторов, эквивалентную нулю.

Этот способ представления равновесия сил, приложенных к твердому телу, очень широко распространен, и слово «равновесие» очень часто употребляется именно в этом смысле. Однако не следует упускать из виду, что такое представление о равнозесии относится скорее к динамике, чем к статике.

188. Центр тяжести твердого тела.

Приведение сил, приложенных к твердому телу, может быть, в частности, выполнено для сил веса всех материальных точек, из которых тело состоит. Все эти сипы представляют собой параллельные силы, одинаково ориентированные. Эта система векторов приводится поэтому к одной равнодействующей, равной общему весу Р твердого тела и приложенной в центре этих параллельных векторов, который

мы будем обозначать Г. Эта точка, положение которой в теле не зависит от его ориентировки относительно поверхности Земли, есть центр тяжести тела. Мы увидим в следующей главе, как можно определить его координаты . Из предыдущих теорем следует, что действие сил тяжести на различные точки твердого тела как со статической, так и с динамической точки зрения, приводится к единственной силе, к полному весу, приложенному в центре тяжести тела.