ЧАСТЬ ПЕРВАЯ. КИНЕМАТИКА ТОЧКИ И ТВЕРДОГО ТЕЛА

ГЛАВА I. КИНЕМАТИКА ТОЧКИ

§ 1. ДВИЖЕНИЕ. СКОРОСТЬ. УСКОРЕНИЕ

34. Движение.

Говорят, что твердое тело движется относительно другого твердого тела, если расстояния между точками обоих тел изменяются. Таким образом, движение в его геометрическом представлении имеет чисто относительный характер. Но если мы выберем определенное твердое тело, т. е. систему неизменяемой формы, в качестве системы отсчета, то можно условиться рассматривать эту систему как неподвижную, и тогда движения других тел, определенные по отношению к ней, могут быть условно названы абсолютными движениями. В качестве такого твердого тела выбирают обычно систему трех осей (чаще всего прямоугольных), называемую триэдром отсчета.

В чистой кинематике выбор триэдра отсчета произволен, в физической же механике дело обстоит иначе. Когда хотят выразить законы динамики в наиболее простой, удобной и естественной форме, считают абсолютно неподвижным определенный триэдр, ориентированный неизменным образом относительно неподвижных звезд.

Задача кинематики заключается в изучении движения самого по себе, независимо от причин, которые его вызывают. В этой части механики в числе основных понятий содержится лишь одно понятие, чуждое геометрии, — понятие времени.

35. Время.

Последовательность сменяющих друг друга явлений порождает в нас идею времени, однако само понятие

времени не поддается определению. Когда точка в своем движении переходит из одного положения в другое, это явление имеет известную длительность, совершается в течение некоторого промежутка времени. Каждое из своих промежуточных положений точка занимает в определенный момент времени, и этот момент определяется соответствующим положением точки. В частности, крайние моменты времени, т. е. начальный и конечный моменты промежутка времени, соответствуют начальному и конечному положению движущейся точки. Если начальный момент и соответствующее ему начальное положение точки фиксированы, а конечный момент меняется вместе с конечным положением точки, то величина промежутка времени меняется, и мера этого промежутка (которую мы далее определим) есть переменная t. Эту переменную величину t называют в механике временем. Конечный момент промежутка времени, о котором мы только что говорили, определяется значением переменной t и называется моментом времени t, подобно тому как точка на оси определяется своей абсциссой х и называется точкой . В механике почти всегда в качестве независимой переменной выбирают переменную t и рассматривают ее как величину, постоянно возрастающую.

Принципиально, всякая точка, которая движется не останавливаясь, может служить для измерения времени: равенство промежутков времени определяется равенством путей, пройденных за эти промежутки выбранной точкой. Изложение кинематики совершенно не зависит от этого выбора.

В действительности, когда дело идет о приложении механики к явлениям природы, время измеряют при помощи часов, которые показывают среднее время, определяемое в космографии. Равными промежутками времени при этом считаются такие промежутки, в течение которых Земля поворачивается на один и тот же угол относительно неподвижных звезд. За единицу времени принимают секунду среднего солнечного времени, или 1/86400 часть средних солнечных суток, определяемых астрономическими наблюдениями.

В кинематике необходимо также выбрать единицу длины, например, метр или сантиметр, после чего единицы измерения других кинематических величин, таких как скорость и ускорение, о которых речь будет идти далее, определяются при помощи единиц длины и времени.

Другое основное понятие, связанное с временем, есть понятие одновременности событий. Две материальные точки движутся одновременно, если они перемещаются в течение одного и того же промежутка времени. Понятие одновременности распространяется и на самые моменты времени: положения, которые две различные движущиеся точки занимают в один и тот же момент времени, называют одновременными.

В классической механике допускают, что это соответствие имеет абсолютный характер и, следовательно, не зависит от наблюдателя и условий опыта. Определение одновременности событий, происходящих в различных местах, вызывает трудности физического порядка, которые здесь не будут рассматриваться. Этот вопрос является одной из основных проблем теории относительности.

36. Траектория точки. Конечные уравнения движения.

Геометрическое место последовательных положений движущейся точки называется ее траекторией. Смотря по тому, представляет ли эта линия прямую или кривую (в частности, окружность), траектория будет прямолинейной или криволинейной (в частности, круговой).

Предположим, что движение отнесено к трем неподвижным осям Охуz (прямоугольным или косоугольным); движение точки определено аналитически, если заданы три ее координаты х, как функции времени t. Три уравнения

называются конечными уравнениями движения. Они дают положение движущейся точки в каждый момент времени t и представляют собой уравнения траектории в параметрической форме.

Когда траектория известна заранее, движение точки по траектории может быть определено одним уравнением. В самом деле, положение движущейся точки определяется в этом случае алгебраическим значением s длины дуги соединяющей точку М с ее начальным положением на траектории; при этом длина дуги считается положительной в одном направлении и отрицательной в другом. Движение, таким образом, будет вполне определено, если задать s как функцию от t. Единственное уравнение движения будет в этом случае

Замечание. — Во всем последующем изложении различные введенные в этом п° функции от t будут предполагаться непрерывными и имеющими непрерывные производные двух первых порядков.

37. Перемещение. Геометрическая скорость.

Если движущаяся точка занимает последовательно два положения М и М (фиг. 4) соответственно в моменты t и то вектор ММ называется перемещением точки за промежуток времени

Фиг. 4.

Этот вектор представляет хорду траектории, описываемой движущейся точкой, причем следует остерегаться смешивать перемещение с дугой траектории.

Если перемещение ММ разделить на , то частное

будет новым вектором, который называется средней геометрической скоростью точки за промежуток времени М. Средняя геометрическая скорость направлена, таким образом, по той же прямой и ориентирована в ту же сторону, что и перемещение.

Геометрической скоростью точки М в момент времени t называют предел средней скорости, когда М стремится к нулю. Этот вектор обозначают V, следовательно, имеем по определению:

В пределе хорда совпадает с касательном к траектории; поэтому геометрическая скорость точки М представляет собой вектор приложенный в точке М и направленный по касательной к траектории с ориентацией в сторону движения. В тех случаях, когда не будет поводов к различным толкованиям, мы будем обозначать геометрическую скорость одним словом скорость.

Пусть М есть векторная координата движущейся точки М, когда в качестве полюса взята неподвижная точка О, т. е. вектор ОМ Перемещение ММ за промежуток времени М равно геометрическому приращению вектора отношение есгь средняя геометрическая скорость; ее предел, когда стремится к нулю, есть геометрическая производная вектора М но мы имеем:

Таким образом, геометрическая скорость движущейся точки равна геометрической производной от векторной координаты по времени. есгь век гор, связанный с движущейся точкой.

38. Проекции геометрической скорости на оси координат. Алгебраическая скорость.

Пусть — координаты точки М (рассмотренной еще в предшествующем ) относительно трех неподвижных осей Охуz, которые могут быть прямоугольными или косоугольными; пусть, далее, Координаты точки М.

Проекции (прямоугольные или косоугольные) вектора

на оси соответственно равны проекции средней скорости суть

поэтому проекции геометрической скорости будут равны

Отсюда следует основная теорема:

Теорема. — Алгебраические значения проекций (прямоугольных или косоугольных) геометрической скорости точки на оси (прямоугольные или косоугольные) равны производным от координат движущейся тонки по времени.

На основании указанных формул, в случае прямоугольных осей, величина скорости равна

Обозначим через s длину дуги траектории, отсчитываемой (с соответствующим знаком) от неподвижной точки на траектории. В дифференциальном исчислении доказывается, что в случае прямоугольных осей имеет место равенство

Следовательно, будем иметь

независимо от выбранной системы координат, так как длина дуги полностью определяется самой кривой.

Мы условимся, однако, приписывать скорости v алгебраическое значение (положительное или отрицательное)

и будем поэтому во всех случаях определять алгебраическую скорость v формулой

Когда положительно, ориентация совпадает с ориентацией V, и потому в полученной формуле v имеет тот же знак, что и Это условие сводится, таким образом, к тому, чтобы считать алгебраическую скорость положительной в направлении возрастающих дуг и отрицательной в противоположном направлении.

Если обозначим через дугу (положительную или отрицательную), описываемую за время то отношение

называется средней алгебраической скоростью точки за промежуток времени когда стремится к нулю, это отношение стремится к или к v. Таким образом, алгебраическая скорость есть предел средней алгебраической скорости, когда рассматриваемый промежуток времени стремится к нулю.

39. Определение вектора ds.

Будем называть вектором ds вектор, приложенный в точке М и имеющий проекции на оси, соответственно равные dx, dy, dz.

Геометрическая скорость v равна геометрическому частному от деления вектора ds на dt,

так как проекции этого частного на оси равны

т. е. проекциям вектора

Вектор имеет те же направление и ориентацию, что и вектор V, если положительно. Он совпадает поэтому с касательной к траектории и ориентирован в сторону движения точки. Его модуль равен величине произведения

40. Равномерное движение; переменное движение.

Движение называется равномерным, если величина скорости постоянна. В этом случае имеем:

Пусть есть значение s для (начальное значение); интегрируя это уравнение, получим:

Следовательно, в равномерном движении пройденные пути пропорциональны времени, и величина скорости равна пути пройденному в единицу времени.

Движение, не являющееся равномерным, называется переменным, или неравномерным. Оно будет ускоренным или замедленным, смотря по тому, будет ли абсолютная величина скорости возрастать или убывать.

Движение называется равномерно переменным, если алгебраическая скорость изменяется пропорционально времени. В этом случае будем иметь, обозначая через начальную скорость (для

Отсюда получим, интегрируя:

Если начальная скорость равна нулю, пройденпый путь изменяется пропорционально квадрату времени.

41. Прямолинейное движение. Теорема о проекции скорости.

Если движение прямолинейное, то можно взять

траекторию за ось . В этом случае имеем и конечное уравнение движения принимает вид:

Алгебраическая скорость определяется формулой

Выражение скорости точки, движущейся по оси приводит к важной теореме. Когда точка движется в пространстве, есть проекция ее скорости на ось в то же время эта величина равна алгебраическому значению скорости проекции точки М на ось так как точка имеет абсциссою . Если ось х взята произвольно, то мы приходим к следующей теореме:

Если спроектировать на ось движущуюся точку и ее скорость, то проекция этой скорости равна скорости проекции точка.

42. Круговое движение.

Пусть точка описывает окружность радиуса вокруг точки О (фиг. 5). Положение движущейся точки определяется углом который подвижной радиус ОМ составляет с неподвижной прямой это угол измеряется длиной дуги, вырезаемой им на окружности единичного радиуса.

Фиг. 5.

Предположим, что дуга s отсчитывается от точки равно 60. Так как дуги пропорциональны радиусам, то будем иметь, если отсчитываются в одну и ту же сторону:

Тогда значение алгебраической скорости будет

43. Индекс и годограф движущейся точки.

Индексом движущейся точки М называют конец 1 вектора геометрически равного вектору скорости v точки М и имеющего начало в неподвижном полюсе О. В качестве полюса индекса чаще всего выбирают начало координат. Если движение точки отлично от прямолинейного и равномерного, то ее индекс перемещается с течением времени и описывает некоторую кривую, называемую годографом точки М.

44. Ускорение. Проекции ускорения.

Определение. Пусть v и будут геометрические скорости движущейся точки, которая занимает положения в моменты (фиг. 6). Отложим от точки М вектор МН, равный геометрической разности , или

Фиг. 6.

Геометрическое отношение

с теми же направлением и ориентацией, что и вектор МН, называется средним ускорением точки за промежуток времени . Предел среднего ускорения, когда стремится к нулю, есть вектор j, приложенный в точке и называемый ускорением движущейся точки в момент t. Отсюда следует, что j есть геометрическая производная от v по t, т. е.

Если принять во внимание, что есть векторная координата индекса точки М, то имеем следующую теорему: Ускорение точки М в момент t геометрически равно скорости индекса точки.

Алгебраические значения проекций ускорения j на оси координат выводятся непосредственно из предыдущей теоремы. В самом деле, координаты индекса I суть проекции ускорения точки М (геометрической скорости точки ) равны производным от этих координат по времени (п° 38). Пусть проекции ускорения; тогда будем иметь

Отсюда вытекает следующая основная теорема:

Теорема. - Алгебраические значения проекций ускорения движущейся точки на оси координат равны вторым производным от координат точки по времени.

Известно из геометрии, что соприкасающаяся плоскость в точке М траектории есть предельное положение плоскости, проходящей через касательную в точке М (а потому и через скорость v в этой точке) и через прямую, параллельную касательной в бесконечно близкой точке М! (а потому параллельную скорости v). Эта плоскость содержит геометрическую разность отложенную от точки М. Так как направление ускорения является предельным для направления До, то ускорение лежит в соприкасающейся плоскости к траектории.

Мы вновь придем к тому же заключению в следующем п°, где будет показано, что ускорение может быть разложено на два вектора, лежащие в соприкасающейся плоскости и направленные соответственно по касательной и главной нормали к траектории.

45. Касательное и нормальное ускорения.

Пусть — направляющие косинусы касательной к траектории в точке М, проведенной в сторону возрастающих дуг. Тогда будем иметь, каков бы ни был знак алгебраической скорости v (так как v положительна, когда вектор скорости ориентирован в сторону возрастающих дуг):

Дифференцируя эти формулы по t, получим уравнения:

Пусть R есть радиус кривизны, и — направляющие косинусы главной нормали к траектории. По формулам Френэ (которые доказываются в курсе анализа бесконечно малых) имеем:

Выполним подстановки:

тогда получим:

Возьмем ось x по касательной, ось у по главной нормали и ось по бинормали к траектории; при этом выборе осей а

Обозначим через алгебраические значения проекций ускорения на три указанные направления, так что Тогда получим:

Таковы алгебраические значения составляющих ускорения по трем главным направлениям. Последняя составляющая

равна нулю, а потому, как мы это уже видели, ускорение лежит в соприкасающейся плоскости к траектории.

Касательная составляющая ускорения называется касательным, или тангенциальным ускорением. Ее алгебраическое значение, положительно или отрицательно, смотря по тому, возрастает или убывает алгебраическая скорость.

Тангенциальное ускорение, смотря по обстоятельствам, будет ориентировано в сторону возрастающих дуг (в положительную сторону на касательной) или в противоположную сторону.

Составляющая по главной нормали называется нормальным ускорением. Ее алгебраическое значение всегда положительно. Поэтому она всегда ориентирована в положительную сторону по главной нормали, т. е. в сторону вогнутости траектории и, следовательно, к ее центру кривизны. Вследствие этого нормальное ускорение называют также центростремительным ускорением.

Рассмотрим, например, круговое равномерное движение точки. В этом случае v и R — постоянные величины. Тангенциальное ускорение равно нулю, а нормальное ускорение, направленное к центру круга, имеет постоянную величину

Движение, в котором нормальное ускорение постоянно равно нулю, может быть только прямолинейным, так как в этом случае 1 : R обращается в нуль, т. е. кривизна траектории постоянно равна нулю, что может иметь место только для прямой линии.