§ 2. ПРИМЕНЕНИЕ ПРИНЦИПА ВИРТУАЛЬНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ К РАВНОВЕСИЮ СВОБОДНОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА

235. Одно свойство эквивалентных систем сил: эквивалентность систем сил с точки зрения работы, произведенной над твердым телом.

Силы связи в свободном твердом теле представляют собой равные и прямо противоположные действия и противодействия, которые попарно оказывают друг на друга точки тела;

эти силы взаимодействия удерживают точки тела на неизменных расстояниях между собой. Лемма, которая служит основанием для принципа виртуальных перемещений, оправдывается для этих сил связи, в силу следующей общей теоремы:

Теорема. — Если две системы сил, приложенных в определенных точках твердого тела, эквивалентны друг другу, то сумма элементарных работ сил одна и та же для обеих систем, каково бы ни было элементарное перемещение тела.

Для доказательства теоремы достаточно показать, что сумма работ сил, входящих в данную систему, не изменяется, когда над этой системой выполняют одну из элементарных операций.

Эта инвариантность уже установлена для сложения и разложения сил, приложенных к одной и той же точке твердого тела. Остается только проверить ее для одной из двух последних элементарных операций (так как они приводятся одна к другой), например, для переноса силы F в какую-нибудь точку М линии ее действия.

Эта проверка непосредственно очевидна. В снмом элементарная работа силы F, приложенной в точке М, равна произведению на проекцию скорости точки М на направление сил . Но эта проекция одна и та же для всех точек М линии действия силы F: она равна скорости скольжения этой прямой

Из этой теоремы вытекает высказанное в начале этого п° следствие, относящееся к работе сил связи;

Следствие: — При всяком виртуальном перемещении твердого тела сумма виртуальных работ сил связи равна нулю.

В самом деле, силы связи, будучи равными и прямо противоположными друг другу, образуют систему, эквивалентную нулю, и пэтому сумма их элементарных работ обращается в нуль. Таким образом, каково бы ни было перемещение твердого тела, достаточно учитывать лишь работу прямо приложенных сил.

236. Элементарная работа пары сил, действующей на твердое тело.

Пусть на твердое тело действует мара с осевым моментом G. Дадим этому телу элементарное перемещение, происходящее в течение бесконечно малого промежутка времени 81.

Движение твердого тела приводится к мгновенному поступательному движению со скоростью и и к мгновенному вращению с угловой скоростью о». Вращение не зависит от выбранного центра приведения, и есть элементарный угол, на который тело поворачивается за бесконечно малый промежуток времени Будем называть вектор элементарным вращением твердого тела. Мы имеем тогда следующую теорему:

Теорема. — Элементарная работа пары G, приложенной к твердому телу, которому сообщено какое-нибудь элементарное перемещение, равна скалярному произведению осевого момента пары на элементарное вращение тела, т. е.

Для доказательства теоремы возьмем начало координат на линии действия одной из сил пары; пусть — другая сила, имеющая проекции X, Y, Z и приложенная в точке . Проекции момента G пары на оси приводятся к моментам силы Р относительно этих осей, т. е. к

Выберем начало координат за центр приведения движений твердого тела. Мгновенное движение тела приводится к поступательному движению со скоростью и и к вращению с угловой скоростью вокруг начала. При поступательном перемещении тела сумма работ сил пары равна нулю, поэтому работа пары приводится к работе, произведенной при элементарном вращении , т. е. к работе силы Р при этом вращении. Эта элементарная работа выражается в виде

где суть проекции скорости точки приложения силы Р при вращении . Обозначив через проекции вектора w на оси, можем написать:

подставляя эти значения в выражение для элементарной работы, получим:

т. е.

что и доказывает теорему.

237. Сумма элементарных работ сил, приложенных к твердому телу.

Возьмем произвольную точку О твердого тела за центр приведения данных сил и движений тела. Силы приводятся к результирующей силе приложенной в точке О, и к паре с моментом О. Движение тела приводится к мгновенному поступательному движению со скоростью и точки О и к мгновенному вращению . Элементарное перемещение точки О есть элементарное вращение равно

Отсюда имеем следующую теорему:

Сумма элементарных работ сил, приложенных к твердому телу, равна сумме элементарной работы результирующей R, приложенной к точке О:

и элементарной работы результирующей пары G:

Сумма этих работ есть

В частности, если результирующий момент сил, приложенных к твердому телу, относительно точки О равен

нулю, то сумма элементарных работ этих сил приводится к работе результирующей силы, приложенной в точке О, которая предполагается при этом связанной с твердым телом.

238. Применение принципа виртуальных перемещений к равновесию свободного твердого тела.

Так как основная лемма выполняется в случае свободного твердого тела, то принцип виртуальных перемещений может быть применен к выводу условий равновесия тела. Необходимое и достаточное условие равновесия заключается в том, что сумма элементарных работ сил, прямо приложенных к телу, должна быть равна нулю на всяком виртуальном перемещении, т. е. в данном случае, на самом общем перемещении свободного твердого тела.

На основании полученного выше выражения работы, для равновесия необходимо и достаточно, чтобы при любой скорости поступательного движения и и любом вращении имело место условие

Так как 11 и w произвольны, то можно положить , что приводит уравнение (1) к виду , откуда . Мы вновь получаем, таким образом, известное условие равновесия. Для равновесия свободного твердого тела необходимо и достаточно, чтобы силы, прямо приложенные к телу, составляли систему векторов, эквивалентную нулю.

Заметим, что так как R и G представляют собою результирующую силу и результирующий момент для центра приведения О, то условие R = 0 необходимо и достаточно для того, чтобы сумма элементарных работ сил была равна нулю для всякого виртуального поступательного перемещения твердого тела, а условие G = 0 необходимо и достаточно для того, чтобы сумма элементарных работ была равна нулю для всякого виртуального вращения тела вокруг точки О. Именно из этих соображений и

говорят, что есть условие равновесия для поступательного движения, есть условие равновесия для вращательного движения тела.