ГЛАВА X. АНАЛИТИЧЕСКАЯ СТАТИКА

§ 1. ПРИНЦИП ВИРТУАЛЬНЫХ РАБОТ ДЛЯ СИСТЕМ С ОБРАТИМЫМИ ПЕРЕМЕЩЕНИЯМИ

230. Содержание принципа.

Принцип виртуальных работ, или виртуальных перемещений в первый раз в его общей форме был высказан Лагранжем; он дал общее правило для определения условий равновесия материальных систем без трения и привел его к общему уравнению, выражающему эти условия. Это уравнение носит название общего уравнения статики. Мы будем называть аналитической статикой ту часть статики, которая основана на применении принципа виртуальных работ.

231. Определения. Виртуальное перемещение и виртуальная работа.

Пусть М есть материальная точка, к которой приложена в числе других сила F. Предположим, что этой точке сообщают произвольное бесконечно малое совместимое со связями перемещение ММ: это перемещение называют виртуальным перемещением точки, в отличие от действительного перемещения, которое точка получает на самом деле под действием приложенных к ней сил. Элементарную работу силы F на перемещении

ММ называют виртуальной работой F на этом перемещении. Виртуальная работа равняется, таким образом, скалярному произведению двух векторов F и ММ. Мы будем записывать это произведение в виде

так что будем иметь

К понятию виртуальной работы можно применить все то, что было сказано о работе в динамике точки.

Перемещение ММ обозначают также через чтобы отличить его от действительного бесконечно малого перемещения точки М. Подобно тому как проекции вектора на оси суть dx, dy, dz, проекции вектора обозначаются через .

Бесконечно малые величины, отмеченные знаком d, представляют собою дифференциалы, и в дальнейшем мы сохраним за ними это название; величины же, отмеченные знаком , мы будем называть вариациями, чтобы отличить их от дифференциалов.

Если обозначить через X, Y, Z проекции на оси силы F, то аналитическое выражение виртуальной работы на перемещении будет:

Предположим, что виртуальное перемещение происходит за бесконечно малый промежуток времени ; вектор

направленный и ориентированный, как ММ, называется виртуальной скоростью, сообщенной точке М. Виртуальную работу силы F на перемещении ММ можно записать - также, заменяя ММ через

так как угол силы F со скоростью о тот же, что и с перемещением ММ.

Если обозначить через проекции виртуальной скорости v, имеющие значения

то виртуальная работа силы F может быть также написана в виде

или в виде скалярного произведения

232. Основная лемма и формулировка принципа для систем с обратимыми перемещениями без трения.

Принцип виртуальных перемещений допускает две различные формулировки в зависимости от природы связей, наложенных на систему, т. е. в зависимости от того, будут ли связи двусторонними или односторонними.

Мы будем предполагать во всем дальнейшем, что связи не зависят от времени и действуют без трения.

Когда говорят, что связи не зависят от времени, то выражают этим тот факт, что положения и конфигурации, которые связи допускают для системы, не зависят от времени и что элементарные перемещения, совместимые со связями, зависят лишь от положения и конфигурации системы, но не от времени.

Это условие проще всего осуществляется, если связи выражены уравнениями между координатами точек системы, не содержащими времени.

При этом необходимо различать два случая. Связи могут быть такими, что они, допуская для системы какое-нибудь перемещение, допускают и противоположное, т. е. такое, при котором перемещение каждой точки лишь изменяет свою ориентацию. Это имеет место в том случае, когда связи выражены уравнениями (конечными или дифференциальными) между координатами точек системы. Мы будем говорить в этом случае, что перемещения системы обратимы и что связи двусторонние, или удерживающие.

Но может также случиться, что связи, допуская некоторые перемещения, не допускают им противоположных. В этом случае связи называются односторонними, или неудерживающими. Это будет иметь место, когда связи

выражаются неравенствами. Например, когда некоторое твердое тело лежит на столе, то мы можем поднять его вверх, движение же в противоположную сторону невозможно. Мы оставим пока в стороне такие случаи и сформулируем принцип только для систем с обратимыми перемещениями.

Разделим, как и прежде, силы, действующие на точки системы, на два класса: прямо приложенные, или данные, или также активные силы, которые можно по желанию приложить к системе, и силы связи, или реакции связей, которые возникают в системе автоматически как следствие первых сил, из-за наличия связей.

Принцип виртуальных перемещений для систем с обратимыми перемещениями может быть теперь сформулирован так:

Принцип. — Для равновесия системы необходимо и достаточно, чтобы при всяком совместимом со связями (виртуальном) перемещении системы сумма элементарных работ прямо приложенных сил была равна нулю.

Доказательство этого принципа основывается на следующей лемме.

Основная лемма. — Реакции связей, действующих без трения, обладают тем свойством, что сумма их работ на всяком виртуальном перемещении равна нулю; в частности это верно и для действительных перемещений.

Эта лемма представляет собой индуктивное обобщение известных нам физических фактов. Мы увидим в следующих параграфах, как можно ее проверить на большом числе частных случаев. Можно, однако, становясь на общую точку зрения и в целях логического изложения, рассматривать эту лемму как определение связей, действующих без трения (идеальных связей).

233. Доказательство принципа виртуальных перемещений.

Рассмотрим систему материальных точек подчиненных данным связям и находящихся под действием прямо приложенных сил. Требуется доказать, что для равновесия системы необходимо и достаточно,

чтобы сумма элементарных работ прямо приложенных сил на всяком виртуальном перемещении, была равна нулю.

Прежде всего, это условие необходимо. Действительно, если равновесие имеет место, то каждая точка М находится в равновесии под действием всех приложенных к ней сил, как данных, так и реакций связей. Эти силы имеют поэтому равнодействующую, равную нулю, и сумма их элементарных работ равна нулю для любого перемещения точки. Такое же заключение справедливо для каждой точки, поэтому сумма элементарных работ всех сил равна нулю для всякого перемещения системы, совместимо оно со связями или нет. Если же рассматривать только перемещения, совместимые со связями, то на них сумма элементарных работ реакций связи в отдельности равна нулю на основании предыдущей леммы, и, следовательно, сумма элементарных работ прямо приложенных сил тоже равна нулю.

С другой стороны, высказанное условие и достаточно. Предположим, что система предоставлена, без начальных скоростей, действию прямо приложенных сил. Тогда можно утверждать, что если условие имеет место, система будет в равновесии, т. е. что равнодействующая всех сил, действующих на какую-нибудь точку системы, будет равна нулю для каждой точки.

Предположим противное, т. е. что равновесия не будет. Так как начальные скорости равны нулю, то точки, не находящиеся в равновесии, переместятся по направлению равнодействующей сил для каждой точки, и это действительное перемещение будет совместимо со связями, так как оно выполняется на самом деле. Дадим системе виртуальное перемещение, совпадающее с этим действительным перемещением; сумма элементарных работ всех сил на нем будет положительна, так как каждая точка перемещается в сторону равнодействующей, приводящей точку в движение. Но работа сил связи равна нулю на основании леммы, так как рассматриваемое перемещение совместимо со связями; поэтому работа прямо приложенных сил положительна, что противоречит условию.

234. Применение принципа виртуальных перемещений к случаю точки, которая может двигаться без трения по неподвижной кривой или поверхности.

Если точка М может двигаться без трения но неподвижной кривой или поверхности, то сила связи представляет собой нормальную реакцию этой кривой или поверхности. Поэтому выполнение основной леммы здесь очевидно. Реакция в этом случае не производит работы на перемещении, совместимом со связью, ибо последнее, будучи расположено на линии или поверхности, перпендикулярно к реакции связи.

Принцип возможных перемещений может быть поэтому применен в данном случае, и мы сейчас убедимся, что он приводит к условию равновесия.

Если точка М может двигаться по кривой, то работа силы F, приложенной к точке, на перемещении точки по кривой может обратиться в нуль лишь в том случае, когда эта сила равна нулю или нормальна к кривой, в этом именно и заключается необходимое и достаточное условие равновесия точки на кривой.

Если точка может двигаться по поверхности, то работа силы F может быть равна нулю при любом направлении перемещения точки на поверхности лишь в том случае, когда сила равна нулю или нормальна ко всем этим перемещениям, т. е. когда сила направлена по нормали к поверхности; в этом именно и заключается необходимое и достаточное условие равновесия точки на поверхности.