§ 11. РАВНОВЕСИЕ ТОЧКИ. УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ

145. Определение.

Говорят, что покоящаяся в какой-либо момент точка находится в равновесии, если равнодействующая приложенных к ней сил равна нулю. Если точка остается в равновесии в течение некоторого промежутка времени, то она находится в состоянии покоя в течение этого промежутка.

Таким образом, необходимое и достаточное условие для того, чтобы покоящаяся точка была в равновесии под действием приложенных к ней сил, заключается в том, чтобы равнодействующая R этих сил была равна нулю. Если проекции силы R, то это условие аналитически запишется в виде трех алгебраических уравнений:

146. Случай, когда существует силовая функция.

Если существует силовая функция для равнодействующей сил, приложенных к точке, то три предыдущие уравнения принимают вид:

О функции говорят, что она имеет в точке максимум или минимум, если значение ее в этой точке больше или меньше, чем во всякой другой достаточно близкой к ней точке. Согласно этому, три предыдущие условия представляют собой необходимые условия для максимума или минимума функции . Отсюда мы заключаем, что при существовании силовой функции те точки пространства, где функция достигает наибольшего или наименьшего значения, суть положения равновесия: точка, будучи помещена в одно из этих положений без начальной скорости, останется в этом положении.

147. Устойчивость равновесия. Теорема Лежен-Дирихле.

Когда точка находится в положении равновесия, то может случиться, что самый незначительный толчок или смещение из этого положения, сообщенные точке, будут достаточны, чтобы привести ее в движение, которое будет все более и более усиливаться, так что точка в конце концов отойдет на конечное расстояние от своего положения равновесия. В этом случае говорят, что равновесие неустойчиво. Наоборот, равновесие устойчиво, если точка сколь угодно мало отклоняется от своего

положения равновесия при условии, что начальные отклонение и скорость достаточно малы.

Теорема Лежен-Дирихле. — Положения равновесия движущейся точки, в которых силовая функция достигает своего максимума, являются положениями устойчивого равновесия.

Пусть а, b, с — координаты точки А, в которой силовая функция имеет максимум; это значит, что функция в точке А достигает значения большего, чем во всякой другой, достаточно близкой точке.

Докажем, что А есть положение устойчивого равновесия, т. е. что точка М не выйдет из сферы с центром А и с радиусом , как угодно малым, при условии, что начальное положение точки достаточно близко к А и начальная скорость достаточно мала.

Так как функция о определена лишь с точностью до постоянной, то мы можем выбрать эту постоянную таким образом, чтобы обратилась в нуль в точке А и, следовательно, была отрицательна вблизи от этой точки, т. е. внутри и на поверхности сферы (за исключением точки А) с центром Лис радиусом , который можно задать как угодно малым. В частности, так как отрицательна на поверхности сферы S, то можно выбрать положительное число (также как угодно малое вместе с , удовлетворяющее в любой точке х, у, z этой поверхности условию

После того как это сделано, дадим точке М начальное положение достаточно близкое к А, чтобы удовлетворить условию

и начальную скорость достаточно малую, чтобы имело место неравенство

в таком случае можно утверждать, что точка М никогда не выйдет из сферы .

Это следует из интеграла живой силы

откуда получаем на основании предыдущих неравенств

Из этого неравенства сразу же получаем два другие. Прежде всего, так как левая часть положительна, имеем:

т. е. неравенство противоположного смысла по сравнению с (1), которое имеет место на поверхности сферы. Точка М не может поэтому попасть на эту поверхность и остается, следовательно, внутри ее.

Так как не может быть больше нуля, то из неравенства (2) получаем:

откуда видно, что величина скоро; будет порядка а (т. е. как угодно мала).