ГЛАВА VII. ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ

§ 1. УРАВНЕНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ.

167. Предварительные замечания.

При выводе дифференциальных уравнений и различных свойств движения точки, которые мы изучали до сих пор, предполагалось, что рассматривается абсолютное движение, т. е. движение, отнесенное к неподвижным осям, введенным нами выше. Во многих случаях возникает необходимость определять кажущееся, или относительное движение, отнесенное к системе отсчета, движущейся по отношению к неподвижным осям. Так, в том случае, когда мы изучали движение точки вблизи земной поверхности, мы рассуждали так, как если бы Земля находилась в покое, и рассматривали это движение как абсолютвое. Остается сделать следующий шаг и оценить полученное таким образом приближение. Общая задача заключается в построении теории движения точки относительно системы отсчета, движущейся в пространстве. Мы покажем здесь, как можно получить непосредственно уравнения движения точки относительно системы отсчета, движение которой задано.

168. Дифференциальные уравнения относительного движения. Центробежная сила. Сложная центробежная сила.

Пусть — подвижный триэдр отсчета; — масса, х, у, z — относительные координаты движущейся точки М и X, Y, -проекции реальной силы F, определяющей абсолютное движение точки. Эта сила равна произведению массы точки на ее ускорение

Пусть - ускорения, относительное, переносное и добавочное, точки М. Тогда имеем:

Умножим каждый член этого равенства на , заменим через — через X и поступим так же по отношению к двум другим осям; мы получим следующие три уравнения:

Эти уравнения представляют собой уравнения относительного движения точки М. В кинематике (п° 80 и 81) мы дали способ определения проекций векторов

Фиктивную силу, равную и имеющую проекциями — называют кинетической реакцией переносного движения (или силой инерции переносного движения).

Фиктивную силу, равную — имеющую проекциями — называют сложной центробежной силой, или кориолисовой силой.

Уравнения (1) выражают, таким образом, следующую теорему:

Относительное движение точки по отношению к движной системе отсчета может рассматриваться как абсолютное движение и обладает всеми свойствами абсолютного движения, если только к реальным силам, действующим на точку, присоединить две фиктивные силы: кинетическую реакцию переносного движения и сложную центробежную силу.

Добавочное ускорение, как известно (п° 81), исчезает, если относительная скорость равна нулю (т. е. если точка находится в относительном покое). То же самое имеет место и Для сложной центробежной силы.

Отсюда имеем следующую теорему:

Условия относительного равновесия точки определяются, как и условия абсолютного равновесия, из рассмотрения действительных сил, но при этом к ним прибавляется сила инерции переносного движения.

Если подвижные оси находятся в прямолинейном и равномерном поступательном движении, то оба ускорения равны нулю, кинетическая реакция и сложная центробежная сила тоже обращаются в нуль. Поэтому их бесполезно вводить, и уравнения относительного движения оказываются тождественными с уравнениями абсолютного движения. Это можно было предвидеть, так как подвижная система осей в этом случае галилеева (п°105).

Замечание. — Следует заметить, что когда движение подвижной системы отсчета задано, то сила инерции переносного движения зависит лишь от положения точки в этой системе, а сложная центробежная сила зависит от положения точки и от ее скорости. Эти фиктивные силы не зависят, таким образом, от действующих на точку реальных сил. Уравнения (1) относительного движения представляют собой дифференциальные уравнения второго порядка такого же вида, как уравнения абсолютного движения в самом общем случае (п° 115).

169. Проекции на подвижные оси сложной центробежной силы.

Пусть — проекции на подвижные оси угловой скорости мгновенного вращения системы отсчета вокруг ее начала О, т. е. мгновенной угловой скорости переносного вращения. Пусть — проекции на те же оси относительной скорости. Проекции добавочного ускорения будут (п° 81):

Проекции сложной центробежной силы равны:

Эти составляющие обращаются в нуль одновременно с относительной скоростью . С другой стороны, если угловая скорость переносного вращения очень мала, то также очень малы, а потому составляющие сложной центробежной силы будут иметь весьма малую величину, если только относительная скорость v не будет очень большой.

170. Сила инерции переносного движения при равномерном вращении системы отсчета.

Если переносное движение есть равномерное вращение вокруг неподвижной оси, то ускорение переносного движения точки является ускорением в равномерном круговом движении и приводится, таким образом, к нормальному ускорению, равному , или , где обозначает расстояние точки от оси. Центростремительная сила, определяющая это круговое переносное движение, равна по величине и направлена к оси.

Кинетическая реакция переносного движения — прямо противоположная центростремительной силе, приводится, следовательно, здесь к центробежной силе, вызванной переносным вращением. Это совпадение объясняет, почему в практике часто смешивают центробежную силу с силой инерции переносного движения. Чтобы избежать здесь неясности, лучше называть указанную силу центробежной силой переносного движения.

171. О применении теоремы живой силы.

Теорема живой силы, как и другие теоремы динамики, может быть применена к относительному движению, если только к

реальным силам присоединить две фиктивные силы: силу инерции переносного движения и сложную центробежную силу. Но работа сложной центробежной силы в относительном движении равна нулю, так как эта сила параллельна добавочному ускорению и поэтому перпендикулярна к относительной скорости; отсюда приходим к следующему заключению:

Теорема живой силы может быть применена к относительному движению точки в подвижной системе осей при, условии, что к работе реальных сил прибавляется работа силы инерции переносного движения.

В частности, если переносное движение есть равномерное вращение, сила инерции переносного движения совпадает с центробежной силой, вызванной этим вращением, следовательно, чтобы приложить теорему живой силы к относительному движению точки по отношению к осям, совершающим равномерное вращение, достаточно прибавить к работе реальных сил работу центробежной силы переносного движения. Это замечание часто применяется в прикладной механике, в частности, в теории вентиляторов и турбин.