§ 9. КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ПРОСТОЕ, ЗАТУХАЮЩЕЕ И ВЫНУЖДЕННОЕ

138. Простое и затухающее колебательное движение.

Рассмотрим опять движение точки М, притягиваемой силой, пропорциональной расстоянию (п° 136). Если начальная скорость равна нулю, или направление ее проходит через центр, то постоянная площадей равна нулю, и, следовательно, движение прямолинейное и происходит по прямой, проходящей через центр. Возьмем точку О за начало и прямую, по которой происходит движение, за ось Ох. Ускоряющая сила направлена по этой оси и равна — где есть положительная постоянная. Дифференциальное уравнение движения имеет вид (п° 136):

его общий интеграл есть (п° 136)

Постоянные а и b определяются начальными значениями абсциссы и скорости. Для имеем

Следовательно,

Это равенство представляет собой уравнение простого колебательного (или периодического) движения. Продолжительность, или период, полного колебания

число колебаний в единицу времени (вообще говоря дробное), или частота, есть .

Предположим теперь, что движущаяся точка, находящаяся под действием той же притягивающей силы, испытывает, кроме того, сопротивление при перемещении, пропорциональное величине скорости. Алгебраическое значение этого сопротивления, отнесенное к единице массы, будет , где есть положительный коэффициент. Дифференциальное уравнение движения принимает в этом случае вид:

Оно попрежнему линейное и однородное, но содержит одним членом больше, чем в предыдущем случае. Заменой переменного

уравнение приводится к двучленной форме:

Следует различать три случая, в соответствии с тем, будет ли k больше, меньше или равно X.

Первый случай. Затухающее колебательное движение. Если , то полагаем

и тогда удовлетворяет уравнению

имеющему известный интеграл

Уравнение движения в конечной форме имеет поэтому вид:

Если в качестве начального момента возьмем тот, когда проходит через максимум и положим

то получим уравнение приводится тогда к виду:

Если t возрастает неограниченно, то стремится к нулю, совершая при этом колебания с одним и тем же периодом , но с убывающими амплитудами. Период в этом случае оказывается большим, чем период незатухающих (или свободных) колебаний, так как Множитель к называется коэффициентом затухания, или коэффициентом вязкости; число равное отношению двух последовательных максимумов т. е. двух последовательных амплитуд, называется коэффициентом редукции, или декрементом затухания

Второй случай. Если , полагаем

уравнение для переменной z принимает тогда вид:

и имеет общим интегралом (п° 137)

Конечное уравнение движения выводится отсюда. Мы напишем его в виде:

обозначая через и два положительных числа (так как

Для скорости получаем выражение

Отсюда видно, что скорость может обратиться в нуль только один раз. Когда t неограниченно возрастает, стремится к нулю, но направление, в котором изменяется может обратиться в прямо противоположное не больше одного раза.

Следовательно, движение в этом случае не будет колебательным. Его называют апериодическим.

Третий случай. Если , то , откуда

и

Таким образом, стремится к нулю, когда стремится к бесконечности, и скорость может обратиться в нуль лишь один раз. Движение будет апериодическим, как и в предыдущем случае.

139. Колебательное движение, возмущаемое периодической силой.

Рассмотрим опять точку М, движущуюся под действием ускоряющей притягивающей силы — . Движение, которое точка М получит под влиянием только этой силы, есть ее собственное движение. Предположим теперь, что к предыдущей силе прибавляется возмущающая сила, линия действия которой проходит через тот же центр; пусть эта сила выражается периодической функцией времени и пусть алгебраическое значение ее, отнесенное к единице массы, есть . Мы можем привести это выражение к виду отсчитывая время от того момента, когда эта сила проходит через свой максимум. Уравнение движения точки М при таком предположении будет иметь вид:

Предположим, что а отлично от k. Это дифференциальное. уравнение удовлетворяется частным решением вида где в чем можно убедиться непосредственной подстановкой этого решения в уравнение.

Общее решение получим, прибавляя это частное решение к общему решению уравнения что приводит к следзющему уравнению движения:

Это уравнение показывает, что движение точки М является результатом наложения двух различных колебательных движений, из которых одно имеет период собственных колебаний, а другое — период возмущающей силы.

Постоянные а и b определяются начальными значениями Без труда получаем

после этого уравнение движения получает вид:

Собственный колебания определяются двумя первыми членами (п° 138), последний дает возмущение, производимое периодической силой. Весьма важен тот частный случай, когда частоты собственных колебаний и возмущающей силы имеют очень близкие значения, так что (k — а) по модулю очень мало по сравнению с k. В этом случае в предыдущей формуле член, представляющий собой возмущение и содержащий в знаменателе, периодически становится очень большим и во много раз превосходящим сумму двух других. Он может быть представлен в виде:

Так как значение весьма мало, то первый синус этого произведения изменяется очень мало в течение периода соответствующего второму, и потому его можно приближенно рассматривать как постоянную. Возмущение представляется тогда как колебательнре движение

с периодом близким к собственному периоду и амплитуда которого

изменяется с течением времени периодически, но весьма медленно. Период колебаний амплитуды имеет ббльшую продолжительность и определяет биения. В каждом биении амплитуда возмущенного колебания обращается один раз в нуль, когда принимает значение, кратное и проходит через один максимум, имеющий весьма большое значение, когда (а — k) t равно нечетному кратному Следовательно, периодическая сила увеличивает возмущение в течение первой половины биения, чтобы погасить его во второй половине.

Предельный случай, когда частоты равны между собой. Синхронизм. Если , то уравнение движения получается из предыдущего уравнения в результате перехода к пределу. Применяем правило Лопиталя и находим, приближая а к А,

Это есть уравнение колебательного движения с тем же периодом , как и у собственных колебаний, но амплитуда которого

стремится к бесконечности с течением времени. В этом случае под влиянием периодической силы амплитуда колебания монотонно и неограниченно возрастает. Это явление называется резонансом.

Замечание. Малые движения материальных систем, такие как колебания рессор, мостов и т. п., выражаются уравнениями того же вида, как и предыдущие, и обнаруживают поэтому явления, аналогичные тем, которые мы здесь

рассматривали. В частности, явление резонанса может в некоторых случаях иметь опасные последствия. Примером служат цепные мосты.