§ 2. ТРЕНИЕ КАЧЕНИЯ И ВЕРЧЕНИЯ

266. Качение цилиндра по плоскости.

Рассмотрим простой случай, когда тяжелый цилиндр катится по горизонтальной плоскости, которой он теоретически касается по образующей. Физические твердые тела не являются абсолютно неизменяемыми; вследствие давления, производимого тяжелым цилиндром на неподвижную плоскость, и реакции плоскости, происходит деформация обоих тел, находящихся в соприкосновении; эти тела касаются уже не вдоль линии, а вдоль некоторой площадки, хотя и весьма узкой. Чтобы заставить цилиндр катиться по плоскости, необходимо поэтому преодолеть сопротивление этих двух тел деформации; в результате мы имеем сопротивление перемещению, представляющее собой трение качения.

Естественно допустить, что это сопротивление выражается парой, которая препятствует качению, и опыт показывает, что момент этой пары не может превзойти некоторого максимального значения называемого предельным моментом (моментом трения качения). Так как мгновенное вращение цилиндра, опирающегося на плоскость, происходит вокруг образующей касания, то равновесие будет иметь место, если результирующий момент движущих сил относительно этой образующей будет меньше предельного момента, движение же наступит, если момент движущих сил превзойдет предельный момент. В этом последнем рлучае допускают, что момент сопротивления в течение

всего времени движения сохраняет одно и то же значение, равное предельному моменту

Предположим, что цилиндр имеет радиус и что движущая сила F горизонтальна и приложена к оси цилиндра, нормально к ней. Сила тяги, необходимая для того, чтобы вызвать движение, должна удовлетворять условию:

Сила, определяемая условием

называется предельной тягой. Во всех практических случаях предельная тяга значительно меньше той, которая была бы нужна, чтобы вызвать скольжение. Тогда сила, превосходящая предельную тягу, но меньшая той, которая требуется, чтобы вызвать скольжение, необходимо вызовет качение цилиндра. Если сила тяги достаточна, чтобы произвести и качениг и скольжение, она может вызвать оба эффекта одновременно, но рассмотрение этих сложных условий относится уже к области динамики.

Необходимое и достаточное условие равновесия цилиндра, находящегося под действием силы F, заключается, следовательно, в том, что эта сила не должна превосходить предельной тяги. Если F в точности равна предельной тяге, то равновесие неустойчиво; и наоборот, оно устойчиво, если F меньше предельной тяги.

267. Параметр (или коэффициент) трения качения.

Эмпирические законы трения качения были установлены Кулоном и Мореном. Эти законы, представляющие собой довольно грубое приближение к действительности, могут быть высказаны в следующей форме:

1°. Величина предельной тяги пропорциональна величине груза Р, т. е. пропорциональна весу цилиндра, увеличенному другими возможными грузами, которые он поддерживает.

2°. Предельная тяга обратно пропорциональна радиусу катящегося цилиндра.

Таким образом, обозначая попрежнему через предельный момент, можно положить

где h есть коэффициент, называемый параметром, или коэффициентом трения качения.

Коэффициент трения качения, в противоположность тому, что имело место для коэффициента трения скольжения, есть уже не отвлеченное число, а величина, имеющая размерность. Его размерность — длина, так как отношение двух сил есть отвлеченное число, и предыдущая формула дает

Поэтому, когда коэффициенту трения качения дают численные значения, необходимо одновременно указать выбранную единицу длины.

Если силу тяги заставить действовать на расстоянии от плоскости, то будем иметь: . Следовательно, если , то . Отсюда возникает статическая интерпретация параметра h: он представляет собою плечо, которое должна иметь предельная тяга, чтобы она была равна весу цилиндра. Это плечо, на основании предыдущего, не зависит от радиуса цилиндра.

Коэффициент h зависит от природы касающихся тел, от их твердости, от степени полировки. Приведем для примера несколько значений этого коэффициента (за единицу длины принят метр):

Чугунная неотделанная отливка, катящаяся по железу

Чугунная полированная отливка по железу

Полированное железо по дороге мощеной щебнем

Полированное железо по каменной мостовой

Всем этим результатам следует приписывать лишь Еесьма приблизительную точность.

268. Качение и верчение шара по плоскости. Трение верчения.

Рассмотрим тяжелый шар, опирающийся на неподвижную горизонтальную плоскость в точке касания О. Если бы существовало только трение скольжения, то самая незначительная пара, приложенная к шару, сообщила бы ему вращательное движение вокруг оси, проходящей через точку О. Вектор этого элементарного вращения можно было бы, вообще говоря, разложить на две составляющие: одну, лежащую в неподвижной плоскости и представляющую собой качение, и другую, нормальную к плоскости, — верчение. В действительности же оба эти вращения не обязательно должны иметь место. Если момент пары, приложенной к шару, не превышает некоторого предела, никакого движения не происходит. Плоскость оказывает, таким образом, сопротивление перемещению, обусловленное трением.

Если момент движущей пары параллелен неподвижной плоскости, то пара стремится вызвать качение шара по плоскости, и сопротивление, возникающее при этом, представляет собой трение качения.

Если момент движущей пары нормален к плоскости, то пара стремится вызвать верчение, и сопротивление, которое плоскость при этом оказывает, есть трение верчения.

Пара, момент которой расположен наклонно к плоскости, раскладывается на две, уже упомянутые: она стремится вызвать сразу два движения, и в результате возникают одновременно два вида сопротивления.

Законы трения в случае сферы аналогичны тем, которые мы имели в случае цилиндра.

Сопротивление качению выражается парой, момент которой не может превзойти некоторого наибольшего значения называемого предельным моментом качения; сопротивление верчения также выражается парой, момент которой не может превзойти наибольшего значения называемого предельным моментом верчения.

Если составляющие движущего момента превосходят предельные моменты, то возникает движение, и пока качение и верчение имеют место, соответствующие моменты сопротивления сохраняют предельные значения

Эти предельные моменты пропорциональны весу шара (увеличенному соответствующим образом, если имеются другие грузы, которые он должен поддерживать), но не зависят от его радиуса. Таким образом, если обозначить через Р полный груз, то будем иметь:

где представляют собой два коэффициента, из которых первый есть коэффициент трения качения, а второй — коэффициент трения верчения. Как в предыдущем случае, эти два коэффициента имеют размерность длины; их значение поэтому зависит от выбора единицы длины, которая в каждом случае должна быть установлена. Параметр качения имеет значения, аналогичные тем, которые мы имели для него в случае качения цилиндра в предыдущем п°. Параметр верчения оказывается, вообще говоря, в 5—10 раз меньше, чем и само верчение, как правило, происходит гораздо быстрее, чем качение.

Аналогичные рассуждения, очевидно, могут быть применены к тому случаю, когда рассматриваются два тела, которые имеют выпуклые поверхности произвольной формы, касающиеся друг друга в одной точке, и могут катиться и вертеться одно по другому. Для учета сопротивления качению и верчению одного тела по другому и в этом случае вводят две предельные пары, одну с моментом трения качения и другую с моментом трения верчения. Эти пары подчиняются законам, которые аналогичны только что рассмотренным. Равновесие нарушается лишь в том случае, если движущие моменты превосходят эти предельные моменты сопротивления.