§ 7. ТЕОРЕМА ЖИВОЙ СИЛЫ

132. Теорема живой силы.

Определение. Живая сила движущейся материальной точки в данный момент времени есть положительное число, равное половине произведения массы точки на квадрат ее скорости.

Между живой силой точки и работой действующей на точку силы существует основное соотношение, называемое теоремой живой силы и являющееся, может быть, наиболее важным во всей механике. Мы установим сейчас эту теорему.

Рассмотрим точку с массой , движущуюся под действием только одной силы F. Пусть — координаты точки и X, Y, Z — проекции силы на оси. Рассмотрим первое из дифференциальных уравнений движения

которое может быть написано в виде:

Перемножая это уравнение почленно с равенством получим:

или в другом виде:

Подобным же способом находим

Сложим почленно эти три равенства. Замечая, что

получим

Левая часть есть дифференциал живой силы, правая — элементарная работа силы. Это уравнение выражает теорему живой силы в ее дифференциальной форме. Ее можно высказать следующим образом:

Теорема. — Дифференциал живой силы материальной точки равен элементарной работе равнодействующей сил, приложенных к точке, за тот же самый бесконечно малый промежуток времени dt.

Уравнение (1) может быть получено другим способом. Элементарная работа силы F на перемещении равна работе ее касательной составляющей так как другая составляющая перпендикулярна к

Далее имеют одинаковые или противоположные знаки, смотря по тому, ориентированы они в одну сторону или в разные, поэтому работа силы равна по величине и знаку. Так как (n° 118) , то

это уравнение эквивалентно уравнению (1).

В уравнении (1) все переменные суть функции времени t. Рассмотрим промежуток времени до t, в течение которого точка, описывая некоторую дугу своей траектории, переходит из начального положения в конечное положение М. Интегрируя обе части уравнения (1) от до t, получим:

Это уравнение выражает теорему живой силы в ее конечной форме. Ее можно сформулировать следующим образом:

Теорема. - Изменение живой силы движущейся точки за некоторый промежуток времени равно полной работе сил, приложенных к точке, за тот же промежуток времени.

Термин живая сила был введен Лейбницем и настолько прочно вошел в употребление, что едва ли от него можно теперь отказаться. Однако термин этот неудачен, так как живая сила вовсе не есть сила.

133. Интеграл живой силы.

Интегралом живой силы называют первый интеграл уравнений движения, получающийся в том частном случае, когда точка движется в силовом поле и равнодействующая сил, приложенных к точке, имеет силовую функцию . В этом случае элементарная работа выражается в виде а полная работа равна разности значений силовой функции в крайних положениях движущейся точки. Поэтому интеграл в правой части уравнения (2) непосредственно вычисляется. Уравнение (2) принимает вид:

Эго уравнение представляет собой интеграл живой силы. Его можно также написать в виде:

обозначая через h произвольную постоянную

Постоянная h называется постоянной живых сил. Ее значение зависит от начального положения и начальной скорости точки, которые могут быть произвольными.

Интеграл живой силы выражает теорему живой силы в том частном случае, когда существует силовая функция. Некоторые авторы название теоремы живой силы дают теореме именно в этом случае.

Интеграл (3) живой силы выявляет одно частное свойство движения. Движущаяся точка может возвращаться

несколько раз на одну и ту же поверхность уровня, определяемую уравнением

в этом случае уравнение (3) показывает, что величина скорости получает одно и то же значение каждый раз, как точка переходит через эту поверхность уровня. Но направление скорости может быть совершенно различным при каждом таком переходе.

Рассмотрим, например, движение планеты вокруг Солнца. Мы имеем здесь движение точки, притягиваемой центральной силой обратно пропорционально квадрату расстояния; поверхности уровня суть сферы, центром которых является Солнце. Поэтому величина скорости планеты принимает одно и то же абсолютное значение каждый раз, как планета находится на некотором определенном расстоянии от Солнца, направление же скорости, очевидно, может быть различным.

134. Случай, когда некоторые силы не производят работы.

Иногда встречается случай, когда некоторые силы, действующие на движущуюся точку, постоянно остаются нормальными к траектории этой точки. Тогда элементарная работа этих сил постоянно равна нулю и, следовательно, полная их работа тоже равна нулю. Поэтому говорят, что эти силы не работают.

Так как работа равнодействующей сил, приложенных к движущейся точке, равна сумме работ ее составляющих, то она приводится в этом случае к работе остальных действующих на точку сил. Таким образом, в приложениях теоремы живой силы следует учитывать лишь силы, которые производят работу, не обращая внимания на остальные. Если, сверх того, силы, производящие работу, имеют силовую функцию, то будет существовать интеграл живой силы в той форме, которую мы ему придали в предшествующем n°.

Это замечание находит применение в случае, когда рассматривается движение несвободной точки, вынужденной

оставаться на заданной линии или поверхности, которые предполагаются неподвижными и лишенными трения. Последнее свойство обозначает, что линия или поверхность могут действовать на движущуюся точку лишь с силой, направленной по нормали к поверхности: эта сила называется нормальной реакцией. Нормальная реакция не производит работы при движении точки по линии или по поверхности, и в приложениях теоремы живой силы ее поэтому не приходится учитывать. Это можно видеть на следующем примере.

135. Случай, когда работу производит только сила тяжести. Теорема Торичелли.

Известно, что работа силы тяжести, действующей на движущуюся точку, равна весу точки, умноженному на высоту падения И. Интеграл живой силы может быть применен здесь независимо от того, свободна ли точка или вынуждена перемещаться без трения по неподвижной кривой или поверхности.

Этот интеграл имеет в данном случае вид:

отсюда

Если начальная скорость равна нулю, то будет

Это уравнение выражает теорему Торичелли: Скорость, полученная свободной или несвободной материальной точкой, отпущенной без начальной скорости и находящейся под действием силы тяжести, в предположении, что движение происходит без трения, равна , где Н есть высота падения.