§ 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ СПЛОШНЫХ ТЕЛ

214. Плотность.

Формулы (1) предыдущего параграфа не могут быть применены непосредственно к определению центров тяжести тел, так как материальные точки, из которых составлены тела, и их массы не поддаются измерению, и суммирования в формулах практически нельзя выполнить. Вычисление суммы здесь сводится к вычислению интегралов при помощи нижеследующих рассуждений, в которых постулируется непрерывность материи. Таким способом физическую задачу заменяют чисто геометрической.

Тело называют однородным, если во всех своих точках оно имеет одинаковое физическое строение. Плотность тела в этом случае есть постоянное отношение массы произвольной части тела к объему этой части. Пусть М — масса, -объем и — плотность тела, тогда

Если тело неоднородное, то отношение массы к объему зависит от рассматриваемой части тела, и тогда для каждой части это отношение называется средней плотностью. Рассмотрим теперь точку тела с координатами х, у, z и выделим из тела элемент объема Да), содержащий эту точку. Допустим, что средняя плотность этого

элемента стремится к определенному пределу, когда объем Да) стягивается к точке и что этот предел не зависит от выбора элементарного объема и от способа его стремления к нулю.

Этот предел представляет собой в таком случае функцию , которую - мы будем предполагать непрерывной и называть плотностью тела в точке . Высказанные предположения могут относиться только к идеальным телам и для действительных тел оправдываются лишь более или менее приближенно.

215. Преобразование сумм в интегралы.

Рассмотрим непрерывное тело с плотностью (которая может быть переменной), занимающее некоторый объем V. Разделим этот объем на бесконечно малые элементы полученные элементарные частицы тела могут рассматриваться как материальные точки. Пусть — координаты одной из них, так как плотность в этой точке есть , масса частицы будет . Уравнения (1) заменятся тогда следующими:

Эти суммы распространяются теперь на бесконечно большое число бесконечно малых слагаемых и представляют собой в действительности определенные интегралы. Они распространены на все элементы объема V и являются, следовательно, объемными, или тройными интегралами. Их записывают обычно в следующем виде:

Эти формулы и применяют при вычислении координат центров тяжести. Способы вычисления таких интегралов излагаются в курсах анализа.

Если ограничиться однородными телами, как мы обычно будем поступать в приложениях, то постоянная плотность может быть вынесена за знак интеграла и сократится как общий множитель (М полагаем равным ). Формулы (2) переходят при этом в следующие:

216. Центры тяжести поверхностей и линий

1°. При определении центра тяжести поверхности, предполагают, что по этой поверхности распределена по заданному закону некоторая материя, обладающая массой. Толщину этого материального слоя, лежащего на поверхности, считают настолько малой, что ею можно пренебречь. Средней плотностью элемента поверхности называют отношение массы этого элемента к его площади. Плотность в какой-нибудь точке поверхности есть предел средней плотности бесконечно малого элемента содержащего эту точку; предполагают, что плотность есть данная непрерывная функция координат точки.

Общими формулами для определения центра тяжести являются равенства (2) или (3), смотря по тому, переменна или постоянна плотность тела. Так как теперь суммирования распространяются на все элементы поверхности , то эти суммы обращаются в поверхностные, или двойные интегралы. Самые формулы, в предположении однородности поверхности, принимают следующий вид:

В том частном случае, когда поверхность плоская, ее можно принять за плоскость Тогда z для каждой точки равно нулю, С тоже обращается в нуль, и остается определить только

2°. Центр тяжести линии определяют аналогичным способом, предполагая, что некоторая масса распределена

по известному закону вдоль линии. Толщину полученной материальной линии предполагают настолько малой, что ею можно пренебречь. Плотность определяют в этом случае, рассматривая бесконечно малый элемент дуги длины . Суммирования распространяются на все элементы линии и приводят поэтому к простым определенным интегралам. Для однородной дуги длины s формулы принимают вид:

Если кривая плоская, то ее плоскость можно принять за плоскость ху, и тогда уравнения приводятся к двум следующим:

217. Замечания, относящиеся к случаям, когда определение центра тяжести однородных фигур упрощается.

Если фигуры однородны и обладают симметрией, то определение центра тяжести во многих случаях упрощается.

1°. Если фигура (линия, поверхность, объем) имеет центр симметрии О, то точка О и есть центр тяжести. Действительно, в этом случае фигуру можно разложить на элементы, попарно равные и расположенные симметрично относительно точки О. Центр тяжести каждой пары элементов лежит в точке О, поэтому и центр тяжести всей фигуры будет находиться в той же точке (п° 213).

2°. Если фигура имеет диаметральную плоскость, которая делит пополам все хорды, параллельные сопряженному направлению, то центр тяжести лежит в этой плоскости. В самом деле, фигура может быть разложена на элементы, попарно равные и расположенные по разные стороны от диаметральной плоскости на равных от нее расстояниях. Центр тяжести каждой пары элементов лежит в этой

плоскости, поэтому и центр тяжести всей фигуры будет находиться в той же плоскости.

3°. Если фигура плоская и имеет диаметр, то центр тяжести лежит на этом диаметре. Доказательство проводится так же, как в 2°.

4°. Если фигура (линия, поверхность, объем) обладает осью симметрии, так что она может быть разложена на пары элементов, соответственно равных друг другу и расположенных симметрично относительно этой оси, то, пользуясь тем же рассуждением, легко показать, что центр тяжести лежит на оси симметрии.