§ 2. МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

1. Понятие монотонной последовательности.

Определение 1. Последовательность называется неубывающей [невозрастающей], если каждый элемент последовательности, начиная со второго, не меньше [не больше) предыдущего ее элемента, т. е. если для всех номеров справедливо неравенство

Определение 2. Последовательность называется монотонной, если она является либо неубывающей, либо невозрастающей.

Если элементы неубывающей последовательности для всех номеров удовлетворяют строгому неравенству то эту последовательность называют возрастающей.

Аналогично, если элементы невозрастающей последовательности для всех номеров удовлетворяют строгому неравенству то эту последовательность называют убывающей.

Заметим, что всякая монотонная последовательность заведомо ограничена с одной стороны (либо сверху, либо снизу). В самом деле, всякая неубывающая последовательность ограничена снизу (в качестве нижней грани можно взять величину ее первого элемента), а всякая невозрастающая последовательность ограничена сверху (в качестве верхней грани также можно взять величину ее первого элемента).

Отсюда следует, что неубывающая последовательность будет ограниченной с обеих сторон, или просто ограниченной, тогда и только тогда, когда она ограничена сверху, а невозрастающая последовательность будет ограниченной тогда и только тогда, когда она ограничена снизу.

Рассмотрим примеры монотонных последовательностей.

1. Последовательность является неубывающей. Она ограничена снизу величиной своего первого элемента, а сверху не ограничена.

2. Последовательность является убывающей. Она ограничена с обеих сторон: сверху величиной своего первого элемента 2, а снизу, например, числом 1.