§ 3. Основные теоремы дифференциального исчисления

1. Лемма Ферма и теорема Ролля

Определение 1. Точка называется точкой локального максимума (минимума), а значение функции в ней — локальным максимумом [минимумом) функции если существует окрестность точки в множестве Е такая, что в любой точке имеем (соответственно,

Определение 2. Если в любой точке имеет место строгое неравенство то точка называется точкой строгого локального максимума (минимума), а значение функции в ней — строгим локальным максимумом (минимумом) функции

Рис. 20

Определение 3. Точки локального максимума и минимума называются точками локального экстремума, а значения функции в них — локальными экстремумами функции.

Пример 1. Пусть

(рис. 20). Для этой функции:

— точка строгого локального максимума;

— точка строгого локального минимума;

— точка локального максимума;

— точки экстремума, являющиеся одновременно точками и локального максимума, и локального минимума, поскольку здесь функция локально постоянна.

Пример 2. Пусть на множестве

Точки являются точками строгого локального максимума, а точки — точками строгого локального минимума для (см. рис. 12).

Определение 4. Точку экстремума функции будем называть точкой внутреннего экстремума, если является предельной точкой как для множества так и для множества

В примере 2 все точки экстремума являются точками внутреннего экстремума, а в примере 1 точка не является точкой внутреннего экстремума.

Лемма 1 (Ферма). Если функция дифференцируема в точке внутреннего экстремума , то ее производная в этой точке равна нулю:

По определению дифференцируемости функции в точке

где

Перепишем это соотношение в виде

Поскольку — точка экстремума, то левая часть равенства (1) либо неотрицательна, либо неположительна одновременно для всех достаточно близких к нулю значений таких, что .

Если бы было , то при достаточно близких к нулю величина имела бы тот же знак, что и ибо при .

Что же касается самого значения , то оно может быть как положительным, так и отрицательным, коль скоро — точка внутреннего экстремума.

Таким образом, предположив, что , мы получаем, что правая часть (1) меняет знак при изменении знака (если достаточно близко к нулю), в то время как левая часть (1) не может менять знака (если достаточно близко к нулю). Это противоречие завершает доказательство.

Замечания к лемме Ферма. 1° Лемма Ферма дает, таким образом, необходимое условие внутреннего экстремума дифференцируемой функции. Для невнутренних экстремумов (как точка в примере 1) утверждение о том, что вообще говоря, неверно.

2° Геометрически лемма вполне очевидна, ибо она утверждает, что в точке экстремума дифференцируемой функции касательная к ее графику горизонтальна (ведь есть тангенс угла наклона касательной к оси

3° Физически лемма означает, что при движении по прямой в момент начала возврата (экстремум!) скорость равна нулю.

Из доказанной леммы и теоремы о максимуме (минимуме) функции, непрерывной на отрезке, вытекает следующее

Утверждение 1 (теорема Ролля). Если функция непрерывна на отрезке дифференцируема в интервале то найдется точка такая, что

Поскольку функция непрерывна на отрезке то найдутся точки в которых она принимает соответственно минимальное и максимальное из своих значений на этом отрезке. Если то функция постоянна на и поскольку в этом случае то утверждение, очевидно, выполнено. Если же то, поскольку одна из точек обязана лежать в интервале Ее мы и обозначим через По лемме Ферма