Пример 2. Пусть на множестве
Точки являются точками строгого локального максимума, а точки — точками строгого локального минимума для (см. рис. 12).
Определение 4. Точку экстремума функции будем называть точкой внутреннего экстремума, если является предельной точкой как для множества так и для множества
В примере 2 все точки экстремума являются точками внутреннего экстремума, а в примере 1 точка не является точкой внутреннего экстремума.
Лемма 1 (Ферма). Если функция дифференцируема в точке внутреннего экстремума , то ее производная в этой точке равна нулю:
По определению дифференцируемости функции в точке
где
Перепишем это соотношение в виде
Поскольку — точка экстремума, то левая часть равенства (1) либо неотрицательна, либо неположительна одновременно для всех достаточно близких к нулю значений таких, что .
Если бы было , то при достаточно близких к нулю величина имела бы тот же знак, что и ибо при .
Что же касается самого значения , то оно может быть как положительным, так и отрицательным, коль скоро — точка внутреннего экстремума.
Таким образом, предположив, что , мы получаем, что правая часть (1) меняет знак при изменении знака (если достаточно близко к нулю), в то время как левая часть (1) не может менять знака (если достаточно близко к нулю). Это противоречие завершает доказательство.
Замечания к лемме Ферма. 1° Лемма Ферма дает, таким образом, необходимое условие внутреннего экстремума дифференцируемой функции. Для невнутренних экстремумов (как точка в примере 1) утверждение о том, что вообще говоря, неверно.
2° Геометрически лемма вполне очевидна, ибо она утверждает, что в точке экстремума дифференцируемой функции касательная к ее графику горизонтальна (ведь есть тангенс угла наклона касательной к оси