Задачи

1. Определить деформацию длинного стержня (длины ), стоящего вертикально в поле тяжести.

Решение. Направляем ось по оси стержня, а плоскость у — в плоскости его нижнего основания. Уравнения равновесия

На боковой поверхности стержня должны обращаться в нуль все компоненты кроме а на верхнем основании Удовлетворяющее этим условиям решение уравнений равновесия есть

а все остальные По определяем и в виде

а отсюда интегрированием — компоненты вектора деформации

Выражение для удовлетворяет граничному условию только в одной точке нижней поверхности стержня. Поэтому полученное решение неприменимо вблизи нижнего конца стержня.

2. Определить деформацию полого шара (наружный и внутренний радиусы ), внутри которого действует давление давление снаружи

Решение. Вводим сферические координаты с началом в центре шара. Деформация и направлена везде по радиусу и является функцией только от . Поэтому и уравнение (7,5) приобретает вид

Отсюда

или

Компоненты тензора деформации (см. формулы (1,7)):

Радиальное напряжение

Постоянные а и b определяются из граничных условий: при при Отсюда находим

Так, распределение напряжений по толщине шарового слоя, внутри которого действует давление а снаружи дается формулами

Для тонкой сферической оболочки толщины имеем приближенно

— среднее по толщине оболочки значение радиального напряжения).

Распределение напряжений в неограниченной упругой среде с шарообразной полостью (радиуса R), подвергаемой равномерному всестороннему сжатию, получим, положив

На границе полости тангенциальные напряжения т. е. превышают давление на бесконечности.

3. Определить деформацию сплошной сферы (радиуса R) под влиянием собственного гравитационного поля.

Решение. Сила тяготения, действующая на единицу массы сферического тела, равна Подставив это выражение вместо g в уравнение (7,3), получим для радиального смещения следующее уравнение:

Решение, конечное при и удовлетворяющее условию при есть

Отметт», что внутри сферической поверхности радиуса вещество сжато а вне ее — растянуто Давление в центре шара оказывается равным

4. Определить деформацию полой цилиндрической трубы (наружный и внутренний радиусы ), внутри которой действует давление ; давление снаружи отсутствует.

Решение. Вводим цилиндрические координаты с осью по оси трубы. При однородном вдоль трубы давлении деформация представляет собой чисто радиальное смещение . Аналогично задаче 2 имеем теперь

Отсюда

Отличные от нуля компоненты тензора деформации (см. формулы ):

Из условий при при находим

Распределение напряжений по толщине трубы дается формулами

5. Определить деформацию цилиндра, равномерно вращающегося вокруг своей оси.

Решение. Написав в (7,3, центробежную силу вместо силы тяжести угловая скорость), получаем в цилиндрических координатах для смещения уравнение

Решение, конечное при и удовлетворяющее условию при , есть

6. Определить деформацию неравномерно нагретого шара со сферически симметричным распределением температуры.

Решение. В сферических координатах уравнение (7,8) для чисто радиальной деформации гласит:

Решение, конечное при и удовлетворяющее условию при есть

Температура отсчитывается от значения, при котором равномерно нагретый шар считается недеформированным. В качестве этой температуры здесь выбрана температура внешней поверхности шара, так что

7. То же для неравномерно нагретого цилиндра с осесимметричным распределением температуры.

Решение. Аналогичным путем в цилиндрических координатах получаем

8. Определить деформацию неограниченной упругой среды с заданным распределением температуры таким, что на бесконечности температура стремится к постоянному значению Те и деформация отсутствует.

Решение. Уравнение (7,8) имеет, очевидно, решение, в котором

Вектор и, дивергенция которого равна заданной функции, определенной во всем пространстве и обращающейся в нуль на бесконечности, а ротор которого тождественно исчезает, может быть написан, как известно из векторного анализа, в виде

где Поэтому получаем общее решение поставленной задачи в виде

где

Если в очень малом участке объема неограниченной среды (в начале координат) выделяется конечное количество тепла q, то распределение температуры можно написать в виде (С — теплоемкость среды)

где обозначает -функцию. Интеграл в (1) равен тогда и деформация дается формулой

9. Вывести уравнения равновесия изотропного тела (при отсутствии объемных сил), выраженные через компоненты тензора напряжений.

Решение. Искомая система уравнений содержит наряду с тремя уравнениями

еще уравнения, являющиеся следствием того факта, что шесть различных компонент не являются независимыми величинами. Для вывода этих уравнений пишем сначала систему дифференциальных соотношений, которым удовлетворяют компоненты тензора Легко видеть, что величины

тождественно удовлетворяют соотношениям

Здесь имеется всего шесть существенно различных соотношений (соответствующих значениям ); мы сохраним их все, упростив написанное тензорное равенство по индексам :

Подставляя сюда и, выраженное через согласно (5,12), и учитывая (1), получим искомые уравнения

Эти уравнения остаются в силе и при наличии постоянных вдоль тела внешних объемных сил.

Упростив уравнение (3) по индексам i, k, найдем, что

т. е. — гармоническая функция. Применив же теперь к этому уравнению операцию , найдем, что

т. е. компоненты — бигармонические функции; эти результаты следуют, впрочем, уже непосредственно из (7,6) и (7,7) ввиду линейной связи между

10. Выразить общий интеграл уравнений равновесия (при отсутствии объемных сил) через произвольный бигармонический вектор (Б. Г. Галёркин, 1930).

Решение. Естественно искать решение уравнения (7,4) в виде

Отсюда Подставляя это в (7,4), получим

Отсюда видно, что если f — произвольный бигармонический вектор

то

11. Выразить напряжения при плоской деформации (в полярных координатах ) в виде производных от функции напряжений.

Решение. Поскольку искомые выражения не могут зависеть от выбора начала отсчета полярного угла то они не содержат его явным образом. Поэтому можно применить следующий прием: преобразуем декартовы производные (7,10) в производные по переменным после чего замечаем, что

(угол отсчитывается от оси Таким образом, получим

12. Определить распределение напряжений в неограниченной упругой среде с шаровой полостью, подвергаемой (на бесконечности) однородной деформации.

Решение. Общая однородная деформация может быть представлена в виде наложения однородного всестороннего растяжения (или сжатия) и однородного сдвига. Первое было рассмотрено в задаче 2, так что достаточно рассмотреть однородный сдвиг.

Пусть — однородное поле напряжений, которое имело бы место во всем пространстве при отсутствии полости; при чистом сдвиге Соответствующий вектор смещения обозначаем как и ищем искомое решение в виде где обусловленная наличием полости функция исчезает на бесконечности.

Всякое решение бигармонического уравнения может быть написано в виде линейной комбинации центрально-симметрических решений и их производных различных порядков по координатам. Независимыми центрально-симметрическими решениями являются Поэтому наиболее общий вид, который может иметь бигармонический вектор зависящий, как от параметров, только от компонент постоянного тензора и обращающийся в нуль на бесконечности, есть

Подставив это выражение в уравнение (7,4), получим

откуда

Еще два соотношения между постоянными А, В, С получаются из условия на границе полости:

( — радиус полости, начало координат выбрано в ее центре, — единичный вектор в направлении ). Довольно длинное вычисление с помощью (1) приводит к следующим значениям:

Окончательное выражение для распределения напряжений гласит;

Для того чтобы получить распределение напряжений при произвольны» (не чисто сдвиговых) надо заменить в этом выражении на и прибавить выражение

соответствующее равномерному однородному растяжению на бесконечности (ср. задачу 2).

Выпишем здесь результат, получающийся в общем случае для напряжений на границе полости:

Вблизи отверстия напряжения значительно превышают напряжения на бесконечности, причем это увеличение напряжений имеет резко выраженный местный характер, быстро убывая с расстоянием (так называемая концентрация напряжений у отверстия). Так, если среда подвергается простому однородному растяжению (отлично от нуля только то наибольшие напряжения будут иметь место на экваторе полости, причем здесь