§ 38. Несингулярное осесимметричное решение уравнений равновесия нематиков

Осесимметричные деформации (см. рис. 27), представляющие дисклинации с индексом Франка являются точными решениями уравнений равновесия нематической среды с заданными граничными условиями на стенках сосуда.

Однако они не являются единственными решениями этих задач. Они единственны только в категории плоских решений. Если же отказаться от предположения о расположении векторов везде в поперечных к оси сосуда плоскостях, то возможны и другие решения, причем не обладающие особенностью на оси. Так, если граничные условия требуют перпендикулярности стенке, то линии тока директора в таком решении без особенности расположены в меридиональных плоскостях и имеют показанную на рис. 30 форму. Начинаясь на стенке нормально к ней, линии тока изгибаются, стремясь к оси на которой, таким образом, направление оказывается вполне определенным. Более того, мы увидим, что отсутствие особенности в таком решении приводит к его большей термодинамической выгодности (меньшей полной упругой свободной энергии) по сравнению с решением с особенностью на оси (Р. Е. Cladis, М. Kleman, 1972). Приступим к построению этого решения.

Рис. 30

Будем искать осесимметричное, однородное вдоль оси решение в цилиндрических координатах в виде

(смысл угла показан на рис. 30). Граничное условие на стенке:

(R — радиус цилиндрического сосуда), а на оси поставим условие

отвечающее, как уже указано, отсутствию особенности. Имеем

Свободная энергия деформации (на единицу длины вдоль оси ) дается интегралом

где штрих означает дифференцирование по переменной

Первый интеграл уравнения равновесия (т. е. уравнения Эйлера вариационной задачи о минимуме функционала (38,4)):

(38,5)

Согласно условию (38,3) должно быть при

Очевидно, что для этого должно быть при поэтому , так что

Отсюда находим искомое решение, удовлетворяющее условию (38,2), в виде

В противоположность дисклинации (37,10) это решение не автомодельно: в него входит размерный параметр длины R. Интеграл (38,6) выражается через элементарные функции. Выпишем ответ в предположении, что

При разность стремится к нулю пропорционально первой степени , а линии тока приближаются к оси по экспоненциальному закону

Для свободной энергии, связанной с этим решением, вычисление дает

(38,8)

Отметим, что это выражение вообще не зависит от радиуса сосуда R. Энергия же дисклинации (рис. 27, а; решение (37,10)):

где — большой логарифм, происхождение которого связано именно с особенностью на оси.

Мы видим, что решение без особенности энергетически более выгодно по сравнению с решением с особенностью (если только коэффициент не аномально мал).

Поле рассмотренного здесь осесимметричного без особенности решения уравнений равновесия может быть получено из поля в дисклинации с путем непрерывной (т. е. без возникновения каких-либо разрывов) деформации — постепенным выводом векторов из плоскостей . Это обстоятельство является проявлением весьма общей ситуации, которая будет выяснена в следующем параграфе.