ГЛАВА III. УПРУГИЕ ВОЛНЫ

§ 22. Упругие волны в изотропной среде

Если в деформируемом теле происходит движение, то температура тела, вообще говоря, отнюдь не постоянна, а меняется как со временем, так и от точки к точке вдоль тела. Это обстоятельство сильно усложняет точные уравнения движения в общем случае произвольных движений.

Обычно, однако, положение упрощается благодаря тому, что передача тепла из одного участка тела в другой (посредством простой теплопроводности) происходит очень медленно. Если теплообмен практически не происходит в течение промежутков времени порядка периода колебательных движений в теле, то можно рассматривать каждый участок тела как теплоизолированный, т. е. движение будет адиабатическим. Но при адиабатических деформациях выражается через по формулам обычного вида с той лишь разницей, что вместо обычных (изотермических) значений величин Е, а надо брать их адиабатические значения (см. § 6). Ниже мы будем считать это условие выполненным, и соответственно этому под и а в этой главе будут подразумеваться их адиабатические значения.

Для того чтобы получить уравнения движения упругой среды, надо приравнять силу внутренних напряжений произведению ускорения на массу единицы объема тела, т. е. на его плотность :

Это — общий вид уравнений движения.

В частности, уравнения движения изотропной упругой среды можно написать непосредственно по аналогии о уравнением равновесия (7,2). Имеем

Поскольку все деформации предполагаются малыми, то рассматриваемые в теории упругости движения представляют собой малые упруеие колебания или волны. Начнем с рассмотрения плоской упругой волны в неограниченней изотропной среде, т. е. волны, в которой деформация и является функцией только от одной из координат, скажем, от х (и от времени). Все производные по у и z в уравнениях (22,2) исчезают, и мы получаем для отдельных компонент вектора и следующие уравнения:

(уравнение для такое же, как для где введены обозначения 1):

Уравнения (22,3) представляют собой обычные волновые уравнения в одном измерении, и входящие в них величины являются скоростями распространения волны. Мы видим, что скорость распространения волны оказывается различной для компоненты их, с одной стороны, и компонент — с другой.

Таким образом, упругая волна представляет собой по существу две независимо распространяющиеся волны. В одной из них смещение направлено вдоль распространения самой волны; такую волну называют продольной, она распространяется со скоростью . В другой — смещение направлено в плоскости, перпендикулярной направлению распространения; такую волну называют поперечной, она распространяется со скоростью с. Как видно из (22,4), скорость с; всегда больше скорости

Скорости называют продольной и поперечной скоростями звука.

Мы знаем, что изменение объема при деформации определяется суммой диагональных членов тензора деформации, т. е. величиной . В поперечной волне имеются только компоненты и поскольку они не зависят ни от у, ни от , для такой волны Таким образом, поперечные волны не связаны с избиением объема отдельных участков тела. Напротив, для продольных волн и ; эти волны сопровождаются сжатиями и расширениями в теле.

Разделение волны на две независимо распространяющиеся с разными скоростями части можно произвести и в общем случае произвольной (не плоской) упругой волны в неограниченном пространстве.

Перепишем уравнение (22,2), введя в него скорости

Представим вектор а в виде суммы двух частей:

из которых одна удовлетворяет условию

а другая — условию

Из векторного анализа известног что такое представление всегда возможно (это есть представление вектора в виде суммы ротора некоторого вектора и градиента некоторого скаляра).

При подстановке в (22,6) получаем

(22,10)

Применим к обеим сторонам этого уравнения операцию Поскольку мы получим

или

С другой стороны, стоящего в скобках выражения тоже равен нулю в силу (22,9). Но если некоторого вектора исчезают во всем пространстве, то этот вектор тождественно равен нулю. Таким образом,

(22,11)

Аналогично применяя к уравнению (22,10) операцию и помня, что и что всякого градиента равен нулю, находим

Поскольку стоящего в скобках выражения тоже равна нулю, то мы приходим онять к уравнению того же видака к и (22,11);

(22,12)

Уравнения (22,11) и представляют Собой обычные волновые уравнения (в трех измерениях). Каждое из них соответствует распространению упругой волны со скоростью соответственно или Одна из этих волн не связана с изменением объема (в силу ), а другая сопровождается объемными сжатиями и расширениями.

В монохроматической упругой волне вектор смещения имеет вид

(22,13)

где — функция координат. Эта функция удовлетворяет уравнению

(22,14)

получающемуся при подстановке (22,13) в (22,6). Продольная и поперечная части монохроматической волны удовлетворяют уравнениям

(22,15)

где — волновые векторы продольной и поперечной волн.

Наконец, рассмотрим отражение и преломление плоской монохроматической упругой волны на границе раздела между двумя различными упругими средами. При этом надо иметь в виду, что при отражении и преломлении характер волны, вообще говоря, меняется. Если на границу раздела падает чисто поперечная или чисто продольная волна, то в результате получаются смешанные волны, содержащие как поперечные, так и продольные части. Характер волны не меняется (как это явствует из соображений симметрии) только в случае перпендикулярного падения волны на поверхность раздела и в случае падения под произвольным углом поперечной волны с параллельными плоскости раздела колебаниями.

Соотношения, определяющие направления отраженной и преломленной волн, могут быть получены непосредственно из постоянства частоты и касательных к поверхности раздела компонент волнового вектора. Пусть — угол падения и угол отражения (или преломления), а — скорости обеих рассматриваемых волн. Тогда

(22,16)

Пусть, например, падающая волна поперечна. Тогда есть скорость поперечных волн в первой среде. Для поперечной же отраженной веданы имеем тоже и потому (22,16) даст

т. е. угол падения, равен углу отражения. Для продольной же отраженной верны имеем и потому

Для поперечной части преломленной волны имеем и при поперечной падающей волне имеем

Аналогично для продольной преломленной волны имеем