Задачи

1. Определить частоты продольных собственных колебаний стержня (длины l), один из концов которого закреплен, а другой — свободен.

Решение. На закрепленном конце должно быть а на свободном конце ) . Ищем решение уравнения (25,1) в виде

Из условия при имеем откуда для собственных частот находим

( — целые числа).

2. То же для стержня, оба конца которого свободны или оба закреплены, Решение. В обоих случаях

3. Определить частоты собственных колебаний струны (длины ). Решение, Уравнение движения струны:

(ср. уравнение равновесия (20,17)). Граничные условия: при , Собственные частоты:

4. Определить частоты поперечных собственных колебаний стержня () с заделанными концами.

Решение. Уравнение (25,10) при подстановке в него

приобретает вид

Общий интеграл этого уравнения есть

Постоянные А, В, С, D определяются из граничных условий при . В результате находим

и уравнение

корни которого определяют собственные частоты колебаний. Наименьшая из собственных частот равна

5. То же для стержня с опертыми концами.

Решение аналогично решению задачи 4. Результат:

а частоты определяются из т. е.

Наименьшая частота есть

6. То же для стержня, заделанного на одном конце и свободного на другом. Решение, Получаем для смещения

(закрепленный конец z = 0, свободный ), и уравнение

для собственных частот. Наименьшая частота есть

7. Определить собственные колебания прямоугольной пластинки (длины сторон а и b) с опертыми краями.

Решение, Уравнение (25,6) при подстановке в него

приобретает вид

Выбираем оси координат по сторонам пластинки, Граничные условия (12,11) приобретают вид

Удовлетворяющее этим условиям решение есть

( — целые числа), причем частоты определяются равенством

8. Определить собственные частоты колебаний мембраны прямоугольной формы (с длинами сторон а и ).

Решение. Уравнение колебаний мембраны

(ср. уравнение равновесия (14,9)). Края мембраны должны быть закреплены так, что Соответствующее решение для прямоугольной мембраны есть

где собственные частоты

( — целые числа).

9. Определить скорость распространения крутильных колебаний по стержням с сечением в виде круга, эллипса и равностороннего треугольника и по стержню, имеющему вид длинной прямоугольной тонкой пластинки.

Решение. Для кругового сечения (радиуса R) момент инерции взяв С из задачи 1 § 16, получим для скорости значение совпадающее со скоростью .

Аналогично (используя результаты задач 2—4 § 16) получаем для стержня эллиптического сечения скорость

для стержня с сечением в виде равностороннего треугольника

для стержня в виде длинной прямоугольной пластинки

Все эти скорости меньше

10. Поверхность бесконечно глубокой несжимаемой жидкости покрыта тонкой упругой пластинкой. Определить связь между волновым вектором и частотой для волн, одновременно распространяющихся по пластинке и в поверхностном слое жидкости.

Решение. Выбираем плоскость пластинки в качестве плоскости а ось выбираем вдоль направления распространения волны; области жидкости пусть соответствуют Уравнение движения свободной пластинки есть

( — плотность материала пластинки). При наличии жидкости к правой сторрне этого уравнения надо прибавить силу, действующую со стороны жидкости на поверхности пластинки, т. е. давление жидкости. Но давление в волне выражается через потенциал скорости посредством (полем тяжести пренебрегаем). Поэтому получаем уравнение

Далее, нормальная компонента скорости жидкости на ее поверхности должна быть равна скорости точек пластинки, откуда получаем условие

Потенциал должен удовлетворять во всем объеме жидкости уравнению

Ищем в виде бегущей ролны соответственно этому берем шение уравнения (3) в виде затухающей в глубь жидкости поверхностной волны

Подстановка этих выражений в (1) и (2) приводит к двум уравнениям для из условия совместности которых получаем