Главная > Теоретическая физика. Т. VII. Теория упругости
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Задачи

1. Определить частоты продольных собственных колебаний стержня (длины l), один из концов которого закреплен, а другой — свободен.

Решение. На закрепленном конце должно быть а на свободном конце ) . Ищем решение уравнения (25,1) в виде

Из условия при имеем откуда для собственных частот находим

(целые числа).

2. То же для стержня, оба конца которого свободны или оба закреплены, Решение. В обоих случаях

3. Определить частоты собственных колебаний струны (длины ). Решение, Уравнение движения струны:

(ср. уравнение равновесия (20,17)). Граничные условия: при , Собственные частоты:

4. Определить частоты поперечных собственных колебаний стержня () с заделанными концами.

Решение. Уравнение (25,10) при подстановке в него

приобретает вид

Общий интеграл этого уравнения есть

Постоянные А, В, С, D определяются из граничных условий при . В результате находим

и уравнение

корни которого определяют собственные частоты колебаний. Наименьшая из собственных частот равна

5. То же для стержня с опертыми концами.

Решение аналогично решению задачи 4. Результат:

а частоты определяются из т. е.

Наименьшая частота есть

6. То же для стержня, заделанного на одном конце и свободного на другом. Решение, Получаем для смещения

(закрепленный конец z = 0, свободный ), и уравнение

для собственных частот. Наименьшая частота есть

7. Определить собственные колебания прямоугольной пластинки (длины сторон а и b) с опертыми краями.

Решение, Уравнение (25,6) при подстановке в него

приобретает вид

Выбираем оси координат по сторонам пластинки, Граничные условия (12,11) приобретают вид

Удовлетворяющее этим условиям решение есть

(целые числа), причем частоты определяются равенством

8. Определить собственные частоты колебаний мембраны прямоугольной формы (с длинами сторон а и ).

Решение. Уравнение колебаний мембраны

(ср. уравнение равновесия (14,9)). Края мембраны должны быть закреплены так, что Соответствующее решение для прямоугольной мембраны есть

где собственные частоты

(целые числа).

9. Определить скорость распространения крутильных колебаний по стержням с сечением в виде круга, эллипса и равностороннего треугольника и по стержню, имеющему вид длинной прямоугольной тонкой пластинки.

Решение. Для кругового сечения (радиуса R) момент инерции взяв С из задачи 1 § 16, получим для скорости значение совпадающее со скоростью .

Аналогично (используя результаты задач 2—4 § 16) получаем для стержня эллиптического сечения скорость

для стержня с сечением в виде равностороннего треугольника

для стержня в виде длинной прямоугольной пластинки

Все эти скорости меньше

10. Поверхность бесконечно глубокой несжимаемой жидкости покрыта тонкой упругой пластинкой. Определить связь между волновым вектором и частотой для волн, одновременно распространяющихся по пластинке и в поверхностном слое жидкости.

Решение. Выбираем плоскость пластинки в качестве плоскости а ось выбираем вдоль направления распространения волны; области жидкости пусть соответствуют Уравнение движения свободной пластинки есть

( — плотность материала пластинки). При наличии жидкости к правой сторрне этого уравнения надо прибавить силу, действующую со стороны жидкости на поверхности пластинки, т. е. давление жидкости. Но давление в волне выражается через потенциал скорости посредством (полем тяжести пренебрегаем). Поэтому получаем уравнение

Далее, нормальная компонента скорости жидкости на ее поверхности должна быть равна скорости точек пластинки, откуда получаем условие

Потенциал должен удовлетворять во всем объеме жидкости уравнению

Ищем в виде бегущей ролны соответственно этому берем шение уравнения (3) в виде затухающей в глубь жидкости поверхностной волны

Подстановка этих выражений в (1) и (2) приводит к двум уравнениям для из условия совместности которых получаем

1
Оглавление
email@scask.ru