§ 6. Деформации с изменением температуры

Рассмотрим теперь деформации, сопровождающиеся изменением температуры тела; изменение температуры может происходить как в результате самого процесса деформирования, так и по посторонним причинам.

Будем считать недеформированным состояние тела при отсутствии внешних сил при некоторой заданной температуре Если тело находится при температуре Т, отличной от то даже при отсутствии внешних сил оно будет, вообще говоря, деформировано в связи с наличием теплового расширения. Поэтому в разложение свободной энергии F(Т) будут входить не только квадратичные, но и линейные по тензору деформации члены. Из компонент тензора второго ранга можно составить всего только одну линейную скалярную величину — сумму его диагональных компонент. Далее мы будем предполагать, что сопровождающее деформацию изменение температуры мало. Тогда можно считать, что коэффициент при в разложении F (который должен обращаться в нуль при ) просто пропорционален разности Таким образом, получим для свободной энергии следующую формулу (заменяющую ):

где коэффициент при написан в виде — Величины , а надо считать здесь постоянными; учет их зависимости от температуры привел бы к величинам высшего порядка малости.

Дифференцируя F по получим тензор напряжений. Имеем

Первый член здесь представляет собой дополнительные напряжения, связанные с изменением температуры тела. При свободном тепловом расширении тела (при отсутствии внешних сил) внутренние напряжения должны отсутствовать. Приравнивая нулю, найдем, что имеет вид , причем

Но представляет собой относительное изменение объема при деформации. Таким образом, а является не чем иным, как коэффициентом теплового расширения тела.

Среди различных (в термодинамическом смысле) типов деформаций существенны изотермические и адиабатические деформации. При изотермических деформациях температура тела не меняется. Соответственно этому в (6,1) надо положить и мы возвращаемся к обычным формулам; коэффициенты К и можно поэтому назвать изотермическими модулями.

Адиабатическими являются деформации, при которых не происходит обмена теплом между различными участками тела, а также, конечно, и между телом и окружающей средой. Энтропия S остается при этом постоянной. Как известно, энтропия равна производной от свободной энергии по температуре. Дифференцируя выражение (6,1), находим с точностью до членов первого порядка по ил

Приравняв это выражение постоянной, можно определить изменение температуры при деформации, которое оказывается пропорциональным

(6,5)

Подставив это выражение в (6,2), получим для выражение обычного типа

с тем же модулем сдвига, но с другим модулем сжатия Связь адиабатического модуля Кал с обычным, изотермическим модулем К можно, однако, найти и непосредственно по общей термодинамической формуле

( — теплоемкость при постоянном давлении, отнесенная к единице объема тела). Если понимать под V объем, занимаемый веществом, находившимся до деформации в единице объема тела, то производные определяют относительные изменения объема соответственно при нагревании и при сжатии. Другими словами,

Таким образом, получаем для связи между адиабатическими и изотермическими модулями

Для адиабатических модуля растяжения и коэффициента Пуассона легко получаем следующие соотношения.

В реальных случаях величина обычно мала, и поэтому с достаточной точностью можно написать

При изотермической деформации тензор напряжений выражается в виде производных от свободной энергии!

При постоянной же энтропии надо написать (см. (3,6))

где — внутренняя энергия. Соответственно этому при адиабатических деформациях выражение, аналогичное (4,3), определяет не свободную энергию, а просто внутреннюю энергию единицы объема тела