§ 41. Диссипативные коэффициенты нематиков

Члены с N и в уравнениях движения выражают собой релаксационные процессы, возникающие вследствие термодинамической неравновесности среды; эта неравновесность в свою очередь связана с отличными от нуля h и . В обычном гидродинамическом приближении неравновесность предполагается слабой, т. е. величины — в определенном смысле малыми. Тогда является их линейными функциями.

Однако при принятой нами форме записи уравнений движения зависящих от h членов в писать не надо. Действительно, такие члены, составленные из компонент h и , имели бы вид (). Но член такого вида уже есть в недиссипативной части тензора напряжений (40,23); добавление подобного члена в сводилось бы поэтому лишь к переопределению коэффициента

Общий вид линейной зависимости от

причем тензор четвертого ранга обладает очевидными свойствами симметрии (следствиями симметрии тензоров )

(4112)

Кроме того, этот тензор обладает и более глубокой симметрией, следующей из общего принципа симметрии кинетических коэффициентов Онсагера (см. V, § 120; как и в § 32, ниже в этом параграфе мы пользуемся формулировкой этого принципа, данной в VI § 59 и введенными там определениями величин

Из выражения для скорости увеличения энтропии видно, что если под величинами понимать компоненты тензора то «термодинамически сопряженными» с ними величинами будут компоненты тензора — Компоненты же тензора играют роль кинетических коэффициентов Принцип Онсагера требует равенств , т. е.

Тензор должен быть составлен лишь с помощью единичного тензора и вектора с учетом указанных свойств симметрии. Имеется всего пять линейно независимых таких комбинаций

Соответственно тензор имеет пять независимых компонент; представим составленный с его помощью тензор напряжений в виде

Целесообразность именно такого определения всех коэффициентов иллюстрируется следующим выражением диссипативной функции, которое оно принимает при выборе одной из осей координат (оси ) вдоль направления

где индексы пробегают два значения .

Поскольку должно быть (энтропия возрастает), то коэффициенты положительны и, кроме того,

Таким образом, нематическая среда характеризуется всего девятью кинетическими коэффициентами: пятью коэффициентами вязкости, двумя коэффициентами теплопроводности, коэффициентом у (тоже имеющим размерность вязкости) и бездиссипативным безразмерным коэффициентом

Число фигурирующих в уравнениях движения коэффициентов вязкости уменьшается в важном случае, когда движущуюся жидкость можно считать несжимаемой (для чего ее скорость должна быть мала по сравнению со скоростью звука). Уравнение непрерывности несжимаемой жидкости сводится к равенству . В тензоре напряжений (41,4) второй член выпадает вовсе, а третий принимает вид Замечаем, что последний член не дает вклада в диссипативную функцию (он выпадает при образовании произведения поскольку и, Кроме того, он имеет такую же тензорную структуру, как и член в полном тензоре напряжений Между тем, в гидродинамике несжимаемой жидкости давление выступаем (наряду со скоростью) просто как одна из неизвестных функции координат и времени, определяемых в результате решения уравнений движения; оно не является здесь термодинамической величиной, связанной с другими подобными величинами уравнением состояния. Поэтому члены в тензоре напряжений можно объединить друг с другом, что сводится просто к переопределению давления. Таким образом, вязкий тензор напряжений несжимаемой нематической жидкости сводится к выражению

(где ) и содержит всего три независимых коэффициента вязкости. Соответствующая диссипативная функция (ось z вдоль ):

(напомним, что ) положительность коэффициента обеспечивается неравенством (41,6).