§ 29. Непрерывное распределение дислокаций

Если в кристалле имеется одновременно много дислокаций, находящихся на относительно малых (хотя, конечно, и больших по сравнению с постоянной решетки) расстояниях, то становится целесообразным их усредненное рассмотрение. Другими словами, рассматриваются «физически бесконечно малые» элементы объема кристалла, через которые проходит достаточно много дислокационных линий.

Формулировка уравнения, выражающегч основное свойство дислокационных деформаций, достигается естественным обобщением уравнения (27,6). Введем тензор (тензор плотности дислокаций) такой, чтобы его интеграл по поверхности, опирающейся на любой контур L, был равен сумме b векторов Бюргерса всех дислокационных линий, охватываемых этим контуром:

Непрерывные функции описывают распределение дислокаций в кристалле. Этот тензор заменяет собой теперь выражение в правой части уравнения (27,6):

Как видно из этого уравнения, тензор должен удовлетворять условию

(в случае одиночной дислокации это условие выражает собой просто постоянство вектора Бюргерса вдоль линии дислокации).

При таком рассмотрении дислокаций тензор становится первичной величиной, описывающей деформацию и определяющей тензор деформации согласно (27,4). Вектор же смещения и, который был бы связан с определением (27,2), при этом вообще не может быть введен (это ясно уже из того, что при таком определении левая сторона уравнения (29,2) тождественно обратилась бы в нуль во всем объеме кристалла).

До сих пор мы предполагали дислокации неподвижными.

Выясним теперь, каким образом должна быть сформулирована система уравнений, позволяющая в принципе определить упругие деформации и напряжения в среде, в которой дислокации совершают заданное движение.

Уравнение (29,2) не зависит от того, покоятся или движутся дислокации. При этом тензор по-прежнему остается величиной, определяющей упругую деформацию; его симметричная часть есть тензор упругой деформации, связанный обычным образом законом Гука с тензором напряжений.

Это уравнение, однако, теперь недостаточно для полного формулирования задачи.

Полная система уравнений должна определять также и скорость v перемещения точек среды.

Рис. 25

Но при этом необходимо учесть, что движение дислокаций сопровождается, помимо изменения упругой деформации, также и изменением формы кристалла, не связанным с возникновением напряжений — пластической деформацией. Как уже упоминалось, движение дислокаций как раз и представляет собой механизм пластической деформации. (Связь движения дислокаций с пластической деформацией ясно демонстрируется рис. 25: в результате прохождения краевой дислокации слева направо верхняя — над плоскостью скольжения — часть кристалла оказывается сдвинутой на один период решетки; поскольку решетка в результате остается правильной, то кристалл остается ненапряженным.) В противоположность упругой деформации, однозначно связанной с термодинамическим состоянием тела, пластическая деформация является функцией процесса. При рассмотрении неподвижных дислокаций вопрос о разделении упругой и пластической деформаций не возникает: нас интересуют при этом лишь напряжения, не зависящие от предыдущей истории кристалла.

Пусть u — вектор геометрического смещения точек среды, отсчитываемый, скажем, от их положения перед началом процесса деформации; его производная по времени Если образовать с помощью вектора и тензор «полной дисторсии» то мы получим его «пластическую часть» вычтя из тензор «упругой дисторсии», совпадающий с фигурирующим в (29,2) тензором

Введем обозначение

симметричная часть определяет скорость изменения тензора пластической деформации: изменение за бесконечно малое время равно

(Е. Kroner, G. Rieder, 1956). Отметим, в частности, что если пластическая деформация происходит без нарушения сплошности тела, то след тензора равен нулю. Действительно, пластическая деформация не приводит к растяжению или сжатию тела (которые всегда связаны с возникновением внутренний напряжений), т. е. а потому и

Подставив в определение (29,4) , запишем его в виде уравнения

связывающего скорости изменения упругой и пластической деформаций. Здесь надо рассматривать, как заданные величины, которые должны удовлетворять условиям, обеспечивающим совместность уравнений (29,6) и (29,2). Эти условия получаются дифференцированием (29,2) по времени и подстановкой в него (29,6); они имеют вид уравнения

Уравнения (29,2), (29,6) вместе с динамическими уравнениями

составляют полную систему уравнений, описывающих динамику упругой среды с движущимися дислокациями (А. М. Косевич, 1962). Фигурирующие в этих уравнениях тензоры являются заданными функциями координат (и времени), характеризующими распределение и движение дислокаций. Эти функции должны удовлетворять условиям совместности уравнений (29,2) друг с другом и с уравнением (29,6), выражаемым равенствами (29,3) и (29,7).

Условие (29,7) можно рассматривать как дифференциальное выражение «закона сохранения вектора Бюргерса» в среде.

Действительно, проинтегрировав обе стороны уравнения (29,7) по поверхности, опирающейся на некоторую замкнутую линию L, введя согласно (29,1) полный вектор Бюргерса b охваченных линией L дислокаций и воспользовавшись теоремой Стокса, получим

Из вида этого равенства очевидно, что интеграл в его правой части определяет величину вектора Бюргерса «протекающего» в единицу времени через контур L, т. е. уносимого дислокациями, пересекающими линию L. Поэтому естественно назвать тензором плотности потока дислокаций.

Рис. 26

Ясно, в частности, что в случае отдельной дислокационной петли тензор имеет вид

(29,10)

в соответствии с выражением (28,2) для пластической деформации при смещении дислокации; здесь V — скорость линии дислокации в данной ее точке. При этом вектор потока через элемент контура пропорционален , т. е. проекции скорости V на направление, перпендикулярное как так и ; из геометрических соображений очевидно, что так и должно было быть — только эта проекция скорости приводит к пересечению дислокацией элемента

Отметим, что след тензора (29,10) пропорционален проекции скорости дислокации на нормаль к ее плоскости скольжения. Выше было указано, что отсутствие неупругого изменения плотности среды обеспечивается условием Мы видим, что для отдельной дислокации это условие означает движение в плоскости скольжения в соответствии со сказанным выше о физической природе движения дислокаций (см. примечание 2 на стр. 160).

Наконец, остановимся на случае, когда дислокационные петли в кристалле распределены таким образом, что их суммарный вектор Бюргерса (обозначим его В) равен нулю . Это условие означает, что при интегрировании по любому поперечному сечению тела

(29,11)

Отсюда следует, что плотность дислокаций в этом случае может быть представлена в виде

(29,12)

(F. Kroupa, 1962); тогда интеграл (29,11) преобразуется в интеграл по контуру, проходящему вне тела и обращается в нуль.

Отметим также, что выражение (29,12) автоматически удовлетворяет условию (29,3).

Легко видеть, что определенный таким образом тензор представляет собой плотность дислокационного момента в деформированном кристалле (его естественно назвать поэтому дислокационной поляризацией). Действительно, полный дислокационный момент кристалла равен по определению

где суммирование производится по всем дислокационным петлям, а интегрирование — по всему объему кристалла. Подставив сюда (29,12), имеем

и после интегрирования по частям в каждом из двух членов

(29,13)

Плотность же потока дислокаций выражается через тот же тензор согласно

(29,14)

В этом легко убедиться, например, вычислив интеграл по произвольной части объема тела с помощью выражения (29,10) как сумму по всем заключенным в этом объеме дислокационным петлям. Отметим, что выражение (29,14) вместе с (29,12) автоматически удовлетворяют условию (29,7).

Сравнив (29,14) и (29,4), мы видим, что Если условиться считать пластическую деформацию отсутствующей в состоянии с то будет и Подразумевается, что весь процесс деформации происходит при Это обстоятельство надо подчеркнуть, поскольку между тензорами существует принципиальное различие: в то время как является функцией состояния тела, тензор не есть функция состояния, а зависит от процесса, приведшего тело в данное состояние. В этих условиях имеем

(29,15)

где снова — вектор полного геометрического смещения от положения в недеформированном состоянии.

Уравнение (29,6) при этом удовлетворяется тождественно, а динамическое уравнение (29,8) принимает вид

(29,16)

Таким образом, определение упругой деформации, созданной движущимися дислокациями с сводится к задаче обычной теории упругости с объемными силами, распределенными по кристаллу с плотностью