§ 13. Продольные деформации пластинок

Особым видом деформаций тонких пластинок являются продольные деформации, происходящие в самой плоскости пластинки и не сопровождающиеся ее изгибом. Выведем уравнения равновесия, описывающие такие деформации.

Если пластинка достаточно тонка, то деформацию можно считать однородной по ее толщине. Тензор деформации является при этом функцией только от и у (плоскость у выбрана в плоскости пластинки) и не зависит от . Продольные деформации пластинки вызываются обычно либо силами, приложенными к ее краям, либо действующими в плоскости пластинки объемными силами. Граничные условия на обеих поверхностях пластинки гласят при этом: или, поскольку вектор нормали направлен по оси т. е.

Следует, однако, заметить, что в излагаемой ниже приближенной теории эти условия остаются в силе и в том случае, когда растягивающие внешние силы приложены непосредственно к поверхностям пластинки, так как эти силы все равно будут малыми по сравнению с возникающими в пластинке продольными внутренними напряжениями

Будучи равными нулю на границах, величины будут малыми и на всем протяжении малой толщины пластинки, в силу чего мы можем приближенно считать их равными нулю во всем объеме пластинки.

Приравнивая нулю выражения (11,2), получим следующие соотношения:

Подставив их в общие формулы (5,13), получаем отличные от нуля компоненты тензора напряжений в виде

Следует обратить внимание на то, что путем формальной замены

эти выражения переходят в формулы, определяющие связь между напряжениями и деформациями при плоской деформации (формулы (5,13) с .

После того как мы таким образом исключили вовсе смещение мы можем рассматривать пластинку просто как некоторую двухмерную среду (упругая плоскость), не обладающую толщиной, и говорить о векторе деформации и как о двухмерном векторе с двумя компонентами их и Если — компоненты внешней объемной силы, отнесенной к единице площади пластинки, то общие уравнения равновесия гласят:

Подставляя сюда выражения (13,2), получаем уравнения равновесия в виде

Эти уравнения могут быть написаны в двухмерном векторном виде

где все векторные операции понимаются как двухмерные.

В частности, в отсутствие объемных сил уравнение равновесия гласит:

Оно отличается лишь значением коэффициента (в соответствии с (13,3)) от уравнения равновесия для плоской деформации неограниченного вдоль оси z тела (§ 7). Так же как и для плоской деформации, можно ввести здесь функцию напряжения, определенную соотношениями

автоматически удовлетворяющими уравнениям равновесия, написанным в виде

Функция напряжений по-прежнему удовлетворяет бигармоническому уравнению, так как для имеем соотношение

отличающееся лишь множителем от того, что мы имели для плоской деформации.

Отметим здесь следующее обстоятельство: распределение напряжений в пластинке, деформируемой приложенными к ее краям заданными силами, не зависит от упругих постоянных вещества пластинки. Действительно, эти постоянные не входят ни в бигармоническое уравнение, которому удовлетворяет функция напряжений, ни в формулы (13,7), определяющие компоненты по этой функции (а потому и в граничные условия на краях пластинки).