§ 43. Механика холестериков

Холестерические жидкие кристаллы (холестерики) отличаются от нематиков отсутствием среди их элементов симметрии центра инверсии. Направления же директора по-прежнему остаются эквивалентными (см. V, § 140).

Отсутствие центра симметрии приводит к тому, что свободная энергия деформации может теперь содержать линейный по производным член псевдоскаляр . Ее общий вид может быть представлен в виде

где q — параметр с размерностью обратной длины. Это отличие приводит к радикальному изменению характера равновесного (в отсутствие внешних воздействий) состояния среды. Оно не является теперь пространственно однородным ), как у нематиков.

Равновесному состоянию холестерика отвечает распределение направлений директора, для которого

(свободная энергия (43,1) минимальна — равна нулю). Эти уравнения имеют решение:

Эту структуру (ее называют геликоидальной) можно представить себе как результат закручивания вокруг оси z нематической среды, первоначально ориентированной своими в одном направлении в плоскости . Ориентационная структура холестерика оказывается периодической вдоль одного направления в пространстве (оси z).

Вектор возвращается к прежнему значению через каждый интервал длины вдоль оси , но поскольку на правления эквивалентны, истинный период Повторяемости структуры вдвое меньше — равен я Разумеется, макроскопическое описание геликоидальной структуры холестерика формулами (43,3) имеет смысл, лишь если шаг структуры велик по сравнению с молекулярными размерами. В реальных холестериках это условие выполняется см).

При выводе уравнений равновесия и уравнений движения нематиков наличие у них центра инверсии не использовалось. Поэтому те же уравнения в их общем виде справедливы и для холестериков. В то же время имеется и ряд отличий. Прежде всего, меняется выражение с которым должно вычисляться, согласно определению (36,5), молекулярное поле h. Далее, наличие линейного по производным члена в свободной энергии приводит к появлению различия между изотермическими и адиабатическими значениями модуля (ср. конец § 36). В сформулированной в §§ 40, 41 системе гидродинамических уравнений основными термодинамическими переменными являются плотность и энтропия. Соответственно этому должны использоваться адиабатические значения (как функции ) модуля упругости.

Наконец, существенное изменение в гидродинамических уравнениях холестериков по сравнению с уравнениями для нематиков состоит в появлении дополнительных членов в диссипативных частях уравнений — в тензоре напряжений тепловом потоке и величине N в правой стороне уравнения (40,3) (F. М. Leslie, 1968);

(43,4)

(члены с индексом «нем» обозначают выражения из гидродинамики нематиков). Дополнительные члены в этих соотношениях являются не истинными, а псевдотензором и псевдовекторами. самым нарушается симметрия относительно пространственной инверсии, и именно по этой причине эти члены отсутствуют в гидродинамике нематиков. Обратим внимание на то, что построение аналогичных членов, которые были бы истинными тензорами или векторами, невозможно в силу требования инвариантности уравнений относительно изменения знака n. Так, член вида или член вида , h в q меняли бы знак вместе с , между тем как тензор напряжений и тепловой поток должны быть инвариантны по отношению к этому преобразованию. Аналогичным образом, член вида в N невозможен, поскольку Он инвариантен по отношению к изменению знака , между тем как величина N (определяющая производную ) должна была, бы изменить знак.

Коэффициенты в выражениях (43,4) связаны друг с другом соотношениями, следующими из принципа Онсагера. Для применения этого принципа (ср. § 41) выберем в качестве величин — «термодинамических потоков» — величины Из вида диссипативной функции (40,21) (точнее, из вида функции определяющей рост энтропии) видно, что соответствующими «термодинамическими сйлами» будут величины Надо также учесть, что величины четны, а нечетны по отношению к обращению времени (как это видно из места, занимаемого ими в уравнениях (40,3), (40,7) и (40,8)). Если величины имеют одинаковую четность по этому преобразованию, то соответствующие кинетические коэффициенты связаны равенством если же четности различны, то Сравнив теперь «перекрестные» Коэффициенты в соотношениях (43,4), найдем равенства

Таким образом, можно окончательно переписать (43,4) в виде

Где символ обозначает вектор с компонентами .

Итак, в механике холестериков появляется зависимость тензора напряжений и вектора N от градиента температуры. Форма этой зависимости (векторное произведение ) означает, что градиент температуры приводит к появлению закручивающих моментов, действующих на директор и на массу жидкости. В то же время молекулярное поле (сопровождающее вращение директора относительно жидкости) и градиенты скорости жидкости Приводят к появлению в ней тепловых потоков.

Одно из своеобразных, специфических для холестериков гидродинамических явлений может быть наглядно описано, как «просачивание» жидкости сквозь остающуюся неподвижной геликоидальную структуру (W. Helfrich, 1972). Оно состоит в следующем.

Представим себе холестерическую среду, геликоидальная структура которой закреплена в пространстве (скажем, за счет определенных эффектов сцепления с ограничивающими среду стенками). Покажем, что в этих условиях возможно существование однородного по пространству равномерного потока жидкости в направлении оси структуры (ось z).

Поскольку структура (43,3) отвечает равновесному состоянию среды, она обращает в нуль молекулярное поле, Наличие «просачивающегося» потока несколько искажает структуру и соответственно создает малое (вместе со скоростью потока v) молекулярное поле. Определим это поле исходя из уравнения движения директора (40,3). Поскольку поле (в нулевом по скорости приближении) неподвижно, а поскольку поток жидкости предполагается однородным В результате уравнение сводится к равенству

С функцией из (43,3) находим отсюда

где вектор q (с абсолютной величиной q) направлен вдоль оси . В рассматриваемых условиях выражение диссипативной функции (40,21) сводится к и с h из (43,6):

Этим дается энергия, диссипируемая в единицу времени в едийица объема жидкости. При стационарном движении эта энергия компенсируется работой внешних источников, поддерживающих действующий вдоль оси z градиент давления Плотность действующих в среде объемных сил как раз дается градиентом работа этих сил (в единицу времени в единице объема) есть и приравняв ее найдем скорость «просачивания»

По отношению к частице жидкости, протекающей «сквозь» геликоидальную структуру, директор вращается с угловой скоростью Это вращение сопровождается «трением», характеризуемый коэффициентом им и определяется скорость течения.

В реальных условиях скорость не может быть постоянной по всей ширине потока — она должна обращаться в нуль на стенках ограничивающей поток трубки. Падение скорости происходит в слое некоторой толщины . Но единственным параметром длины, характерным для рассматриваемого движения, являетсй величина Если принять, что все коэффициенты вязкости холестерика имеют одинаковый порядок величины, то отсутствуют также и какие-либо безразмерные параметры, которые не были бы Очевидно, что в этих условиях возможно лишь

Таким образом, при течении по трубке большого по сравнению с радиуса формула (43,8) будет справедлива везде, за исключением лишь очень тонкого (толщина порядка шага геликоидальной структуры) пристеночного слоя.