§ 32. Теплопроводность кристаллов

В анизотропном теле направление потока тепла q не должно, вообще говоря, совпадать с направлением градиента температуры. Поэтому вместо формулы между q и градиентом температуры в кристалле имеет место более общая зависимость

Тензор второго ранга называют тензором теплопроводности кристалла. Соответственно этой зависимости уравнение теплопроводности (31,5) тоже будет иметь более общий вид

Тензор теплопроводности симметричен:

(32,3)

Это утверждение, к доказательству которого мы теперь перейдем, является следствием принципа симметрии кинетических коэффициентов (см. V, § 120).

Скорость увеличения полной энтропии тела благодаря необратимым процессам теплопроводности равна

Первый интеграл, будучи преобразован в интеграл по поверхности, исчезает. Таким образом, получаем

или

В соответствии с общим определением кинетических коэффициентов мы можем заключить на основании (32,4), что в данном случае таковыми являются коэффициенты в соотношениях

Поэтому из симметрии кинетических коэффициентов непосредственно следует искомое соотношение (32,3).

Квадратичная форма

должна быть существенно положительной, поскольку положительной должна быть производная (32,4) от энтропии по времени. Условием существенной положительности квадратичной формы является, как известно, положительность главных значений матрицы ее коэффициентов. Поэтому все главные значения тензора теплопроводности всегда положительны, что, впрочем, очевидно и из простых соображений о направлении теплового потока.

Число различных независимых компонент тензора зависит от симметрии кристалла. Поскольку тензор симметричен, это число такое же, как у симметричного тензора второго ранга (тензора теплового расширения; см. § 10).